Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
18. zadatak
Izracunati zbir:
[dispmath]1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Vidim ja da svaki sledeci sabirak ima jednu jedinicu vise, a da ce poslednji da ima [inlmath]n[/inlmath] jedinica, ali ne znam kako tu pravilnost da zapisem.
Resenje je [inlmath]\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)[/inlmath].
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ NIZOVI I REDOVI
Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Ilija » Subota, 20. Jun 2015, 21:00
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Daniel » Subota, 20. Jun 2015, 21:23
Zadatu sumu obeleži sa [inlmath]S[/inlmath]:
[dispmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath], a nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu, čime ćeš dobiti novu sumu, [inlmath]10S+n[/inlmath] (jer si ukupno dodao [inlmath]n[/inlmath] jedinica).
Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath] i pokratiće se sve, osim prvog sabirka sume [inlmath]S[/inlmath] i poslednjeg sabirka sume [inlmath]10S+n[/inlmath].
Broj [inlmath]\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^2+10^1+10^0[/inlmath], a to je suma geometrijske progresije čiji je početni član [inlmath]1[/inlmath], a količnik [inlmath]10[/inlmath]...
[dispmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath], a nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu, čime ćeš dobiti novu sumu, [inlmath]10S+n[/inlmath] (jer si ukupno dodao [inlmath]n[/inlmath] jedinica).
Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath] i pokratiće se sve, osim prvog sabirka sume [inlmath]S[/inlmath] i poslednjeg sabirka sume [inlmath]10S+n[/inlmath].
Broj [inlmath]\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^2+10^1+10^0[/inlmath], a to je suma geometrijske progresije čiji je početni član [inlmath]1[/inlmath], a količnik [inlmath]10[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od bobanex » Subota, 20. Jun 2015, 21:31
[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] Ovo je moja ideja.
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] Ovo je moja ideja.
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Ilija » Subota, 20. Jun 2015, 21:47
Daniel je napisao:Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath]
[dispmath]10S=10+110+1110+\cdots+11\ldots10[/dispmath]
Daniel je napisao:nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu
[dispmath]10S+n=11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}}[/dispmath]
Daniel je napisao:Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath]
[dispmath]10S+n-S=(11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}})-(1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}})=11\ldots1-1[/dispmath] I sad je to: [inlmath]11\ldots1-1=\frac{10^n-1}{9}-1[/inlmath].
Je l' dobro? Je l' sad samo ovo da oduzmem?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Daniel » Subota, 20. Jun 2015, 21:58
Sve ti je u redu do pred sâm kraj, ali onda na kraju treba da ti ostane
[dispmath]10S+n-S=\underbrace{11\ldots1}_{n{\color{red}+1}\text{ jedinica}}-1[/dispmath] to jest
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n{\color{red}+1}}-1}{9}-1[/dispmath] I sad samo odatle izraziš [inlmath]S[/inlmath]...
[dispmath]10S+n-S=\underbrace{11\ldots1}_{n{\color{red}+1}\text{ jedinica}}-1[/dispmath] to jest
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n{\color{red}+1}}-1}{9}-1[/dispmath] I sad samo odatle izraziš [inlmath]S[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Ilija » Subota, 20. Jun 2015, 22:09
Da, fejlovao sam taj poslednji deo. 
I da zapisem:
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1\\
9S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n}{9}\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}}{\frac{9}{1}}\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]
I da zapisem:
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1\\
9S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n}{9}\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}}{\frac{9}{1}}\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Ilija » Subota, 20. Jun 2015, 22:12
Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Sinisa » Subota, 20. Jun 2015, 22:15
Svaki broj zapises kao [inlmath]1+10+100+1000+\cdots[/inlmath]
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Daniel » Subota, 20. Jun 2015, 22:16
Ilija je napisao:Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?
Čim sam video niz, javilo mi se da bi se mogao primeniti sličan metod kao kod izvođenja formule za sumu geometrijskog niza.
Mada, preporučujem ti da pokušaš i na način koji je bobanex predložio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Izracunati zbir brojeva sastavljenih samo od jedinica – prijemni ETF 2003.
od Ilija » Subota, 20. Jun 2015, 22:39
@bobanex - ideja
Znaci ako je:
[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] onda je [inlmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] jednako:
[dispmath]S=\frac{1}{9}\left(10^1-1+10^2-1+10^3-1+\cdots+10^n-1\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10\cdot10^n-10}{9}-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}\right)\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]
Znaci ako je:
[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] onda je [inlmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] jednako:
[dispmath]S=\frac{1}{9}\left(10^1-1+10^2-1+10^3-1+\cdots+10^n-1\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10\cdot10^n-10}{9}-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}\right)\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
17 Posta
• Stranica 1 od 2 • 1, 2
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju