[dispmath]\eqalign{
& t^4-6t^2-t+6=0\cr
& t\left(t^3-1\right)-6\left(t^2-1\right)=0\cr}[/dispmath] Ja bih ipak ovako

Za ovu teoremu prvi put cujem, ali je svakako zanimljivo. Samo da potvrdim [inlmath]p[/inlmath] si odredio tako sto si trazio brojeve koji bez ostatka dele koeficijente [inlmath]1,-6,-1,+6[/inlmath]?

Ne, [inlmath]p[/inlmath] tražiš kao cele brojeve sa kojima je deljiv slobodan član, tj. koji uza sebe nema promenljivu, ovde je to broj [inlmath]6[/inlmath].

Ta teorema je svakako od koristi onda kad imamo celobrojna rešenja, međutim, mi kod ove jednačine ne možemo znati jesu li sva rešenja celobrojna.

Zato bih pokazao jedan drugi način (ne tvrdim da je i najbolji mogući) kojim se može dokazati da je [inlmath]x=1[/inlmath] jedino rešenje.

Pošto smo pre kvadriranja obe strane u koraku [inlmath]\sqrt{3+\sqrt x}=3-x[/inlmath] postavili uslov da je [inlmath]x\le3[/inlmath], a zbog postojanja [inlmath]\sqrt x[/inlmath] mora važiti i [inlmath]x\ge0[/inlmath], sledi da je [inlmath]0\le x\le3[/inlmath]. Zbog toga, nakon uvođenja smene [inlmath]\sqrt x=t[/inlmath], mora važiti [inlmath]0\le t\le\sqrt3[/inlmath].
Dolazimo do jednačine [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath], kako je već pokazano. Jedno rešenje te jednačine „napipavamo“, to je [inlmath]t=1[/inlmath]. Deljenjem polinoma [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath] polinomom [inlmath]t-1[/inlmath] dobijamo polinom [inlmath]t^3+t^2-5t-6[/inlmath]. Nule tog polinoma takođe će, pored [inlmath]t=1[/inlmath], biti rešenja naše jednačine, ukoliko se nalaze unutar intervala u kojem se [inlmath]t[/inlmath], po prethodno postavljenom uslovu, nalazi, a to je interval [inlmath]\Bigl[0,\sqrt3\Bigr][/inlmath]. Pokažimo da taj polinom nema realne nule na tom intervalu, a samim tim i da je [inlmath]t=1[/inlmath], tj. [inlmath]x=1[/inlmath], jedino rešenje naše jednačine.

Obeležimo taj polinom sa [inlmath]P(t)[/inlmath] i ispitajmo koji znak imaju njegove vrednosti na granicama posmatranog intervala:
[dispmath]P(0)=-6<0\\
P\left(\sqrt3\right)=3\sqrt3+3-5\sqrt3-6=-3-2\sqrt3<0[/dispmath] Sada ispitajmo da li ova polinomna funkcija na tom intervalu ima ekstremne vrednosti:
[dispmath]P(t)=0\\
3t^2+2t-5=0\\
t_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{6}\\
t_1=-\frac{5}{3},\;t_2=1[/dispmath] Rešenje [inlmath]t_1=-\frac{5}{3}[/inlmath] nas ne zanima, jer se ono ne nalazi unutar posmatranog intervala [inlmath]\Bigl[0,\sqrt3\Bigr][/inlmath]. Posmatramo samo rešenje [inlmath]t_2=1[/inlmath]. Može se pokazati da ta ekstremna vrednost predstavlja minimum, budući da je drugi izvod, [inlmath]P''(t)=6t+2[/inlmath], u toj tački pozitivan: [inlmath]P''(1)=8[/inlmath].

Zaključujemo: pošto [inlmath]P(t)[/inlmath] na obe granice intervala ima negativnu vrednost, a na tom intervalu nema lokalni maksimum, samim tim nema načina da on preseca apscisu, prema tome, ne može imati nule na tom intervalu.