Pozdrav svima.

Evo jednog konkursnog zadatka iz najnovije "Tangente" (T82), oko kojeg mi je potrebna pomoć:

[inlmath]M1348.[/inlmath] Dokazati da se razlomak [inlmath]\displaystyle\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}[/inlmath] ne može skratiti ni za jedan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath].

Pokušao sam da rešim zadatak metodom matematičke indukcije:

[inlmath]1.[/inlmath] Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{1+2-1+1}{1-1+2}=\frac{3}{2}[/dispmath]
što jeste neskrativo.

[inlmath]2.[/inlmath] Pretpostavimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k+1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{k^3+1+3k^2+3k+2k^2+4k+2-k-1+1}{k^2+2k+1-k-1+2}=\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}[/dispmath]
Moj pokušaj da nastavim rastavljanjem na dva razlomka nije se slavno završio:
[dispmath]\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1+3k^2+7k+2}{k^2+k+2}=\\
=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{3k^2+6k+k+2}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{(k+2)(3k+1)}{k^2+k+2}[/dispmath]
Tu sam stao i ne znam kako dalje. Mislio sam da će možda činjenica da brojilac drugog razlomka ima realne nule (čini mi se da ni [inlmath]\left(k^3+2k^2-k+1\right)[/inlmath], ni [inlmath]\left(k^2+k+2\right)[/inlmath] nemaju realne nule) nešto da znači, ali, ili nije tako, ili ja tu činjenicu ne umem da upotrebim.

A mozda je jednostavnije primetiti da vazi
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=n+3-\frac{5}{n^2-n+2}.[/dispmath]
Mislim da sam dovoljno pomogao.

@Onomatopeja

Hvala!