Ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]x^{2010}-2010x^{2009}+2009[/inlmath] sa [inlmath]x^2-1[/inlmath] je polinom koji je deljiv sa...?

Obeležimo polinom koji delimo sa [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], a polinom kojim delimo sa [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath]:

[inlmath]P\left(x\right)=x^{2010}-2010x^{2009}+2009\\
Q\left(x\right)=x^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)[/inlmath]

Ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] mora biti nižeg stepena od stepena polinoma delioca, a pošto je polinom delilac drugog stepena, polinom ostatka može biti najviše prvog stepena, tj. [inlmath]R\left(x\right)=ax+b[/inlmath].

Kako su nule polinoma delioca [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], prema Bezuovoj teoremi,

[inlmath]R\left(-1\right)=P\left(-1\right)\\
R\left(1\right)=P\left(1\right)[/inlmath]

to jest

[inlmath]a\cdot\left(-1\right)+b=\left(-1\right)^{2010}-2010\cdot\left(-1\right)^{2009}+2009\\
a\cdot1+b=1^{2010}-2010\cdot1^{2009}+2009[/inlmath]

[inlmath]-a+b=1+2010+2009\\
a+b=1-2010+2009[/inlmath]

[inlmath]-a+b=4020\\
a+b=0[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad a=-2010,\;b=2010\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{R\left(x\right)=-2010x+2010}[/inlmath]

---

Drugi način:

Uočimo da je [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv faktorom [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath]:

[inlmath]P\left(x\right)=x^{2010}-2010x^{2009}+2009\\
P\left(x\right)=x^{2010}-x^{2009}-2009x^{2009}+2009x^{2008}-2009x^{2008}+\\
\quad+2009x^{2007}-\cdots-2009x^2+2009x-2009x+2009\\
P\left(x\right)=x^{2009}\left(x-1\right)-2009x^{2008}\left(x-1\right)-2009x^{2007}\left(x-1\right)-\cdots-2009x\left(x-1\right)-2009\left(x-1\right)\\
P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^{2009}-2009x^{2008}-2009x^{2007}-\cdots-2009x-2009\right)\\
P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left[x^{2009}-2009\left(x^{2008}+x^{2007}+\cdots+x+1\right)\right][/inlmath]

Obeležimo polinom u uglastoj zagradi sa [inlmath]P_1\left(x\right)[/inlmath]:
[inlmath]P_1\left(x\right)=x^{2009}-2009\left(x^{2008}+x^{2007}+\cdots+x+1\right)\\
P\left(x\right)=\left(x-1\right)P_1\left(x\right)[/inlmath]

Po Bezuovoj teoremi,
[inlmath]P_1\left(x\right)=\left(x+1\right)Q_1\left(x\right)+P_1\left(-1\right)\\
P_1\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2009}-2009\left[\left(-1\right)^{2008}+\left(-1\right)^{2007}+\cdots+\left(-1\right)+1\right]\\
P_1\left(-1\right)=-1-2009\left(\cancel1-\cancel1+\cdots+\cancel1-\cancel1+1\right)\\
P_1\left(-1\right)=-1-2009\cdot1\\
P_1\left(-1\right)=-2010[/inlmath]

[inlmath]P_1\left(x\right)=\left(x+1\right)Q_1\left(x\right)-2010[/inlmath]

[inlmath]P\left(x\right)=\left(x-1\right)P_1\left(x\right)\\
P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left[\left(x+1\right)Q_1\left(x\right)-2010\right]\\
P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)Q_1\left(x\right)-2010\left(x-1\right)\\
P\left(x\right)=Q\left(x\right)Q_1\left(x\right)+\left(-2010x+2010\right)[/inlmath]

iz čega vidimo da je ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] jednak [inlmath]\left(-2010x+2010\right)[/inlmath].

Sad, pitanje glasi sa čime je taj ostatak deljiv... Možemo reći da je deljiv sa [inlmath]a\left(x-1\right)[/inlmath], da je deljiv sa [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath]... Da li su ponuđeni neki odgovori?

Da li ce onda ostatak deljenja [inlmath]x^{2006}-2006x^{2005}+2005[/inlmath] sa [inlmath]x^2-1[/inlmath] biti [inlmath]-2006x+2006[/inlmath] ?

Evo malo opštijeg slučaja, koji obuhvata i taj, i onaj prethodni zadatak:
[dispmath]P\left(x\right)=x^n-nx^{n-1}+n-1,\qquad Q\left(x\right)=x^2-1[/dispmath]
Pošto nule polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] iznose [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], važiće
[dispmath]P\left(-1\right)=R\left(-1\right)\\
P\left(1\right)=R\left(1\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] polinom prvog stepena (jer je to ostatak pri deljenju polinomom drugog stepena), tj. oblika je [inlmath]R\left(x\right)=ax+b[/inlmath].
Prema tome,
[dispmath]P\left(-1\right)=\left(-1\right)^n-n\left(-1\right)^{n-1}+n-1=a\left(-1\right)+b\\
P\left(1\right)=1^n-n\cdot1^{n-1}+n-1=a\cdot1+b[/dispmath]
[dispmath]\left(-1\right)^n+n\left(-1\right)^n+n-1=-a+b\\
\cancel1-\cancel n+\cancel n-\cancel1=a+b[/dispmath]
[dispmath]\left(-1\right)^n\left(1+n\right)+n-1=-a+b\\
-a=b[/dispmath]
[dispmath]b=\frac{\left(-1\right)^n\left(1+n\right)+n-1}{2}[/dispmath]
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]n[/inlmath] parno:
[dispmath]b=\frac{\cancel1+n+n-\cancel1}{2}\\
b=n\\
a=-n\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{R\left(x\right)=-nx+n}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]n[/inlmath] neparno:
[dispmath]b=\frac{-1-\cancel n+\cancel n-1}{2}\\
b=-1\\
a=1\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{R\left(x\right)=x-1}[/dispmath]
Ovo ti daje i odgovor na pitanje da li je ostatak deljenja [inlmath]x^{2006}-2006x^{2005}+2005[/inlmath] sa [inlmath]x^2-1[/inlmath] jednak [inlmath]-2006x+2006[/inlmath].

Znaci jeste. Hvala puno za ovo