4. razred gimnazije i radimo oblast definisanosti funkcija.
Na kontrolnom smo dobili jedan zadatak i niko ga nije tacno uradio.
Oko lopte poluprecnika [inlmath]r=2[/inlmath] opisana je prava kupa. Izrazi zapreminu kupe kao funkciju visine kupe.
Je l moze pomoc?

Evo kako bih ja to radio. Prvo slika poprecnog preseka:


Zapremina kupe je [inlmath]V=\frac{B\cdot H}{3}[/inlmath]. Mi imamo visinu jer treba da izrazimo zapreminu preko visine, sada samo treba da vidimo kako su visina kupe koja je opisana oko lopte i njena baza [inlmath]B[/inlmath] povezani. Stranicu [inlmath]\mathrm{BC}[/inlmath] (ona nam je poluprecnik baze kupe) cu obelezavati sa [inlmath]y[/inlmath] zbog lakseg pisanja. Povrsina baze je [inlmath]B=y^2\pi[/inlmath]. Kada bi nacrtao par slika sa razlicitim visinama kupe primetio bi da se duzina poluprecnika baze kupe menja tj. zavisi od visine kupe. Kada nadjemo tu vezu izmedju [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] mi smo sustinski resili problem jer umesto [inlmath]B[/inlmath] u formulu za zapreminu ubacimo neku formulu koja samo sazdrzi [inlmath]H[/inlmath] i konstante.
Da bismo nasli tu vezu prvo primetimo da su [inlmath]\bigtriangleup\mathrm{ABC}[/inlmath] i [inlmath]\bigtriangleup\mathrm{AOD}[/inlmath] slicni.
[dispmath]\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}[/dispmath]
Odatle nalazis stranicu [inlmath]\mathrm{BC}[/inlmath] i dobijes koliko je.
[dispmath]y=\frac{r\cdot H}{AD}[/dispmath]
Sada samo treba da pronadjemo koliko je stranica [inlmath]AD[/inlmath]. Vidimo da je [inlmath]\bigtriangleup\mathrm{AOD}[/inlmath] pravougli pa primenjujemo Pitagorinu teoremu. [inlmath]\mathrm{AD}=\sqrt{\mathrm{AO}^2-\mathrm{OD}^2}=\sqrt{(H-r)^2-r^2}=\sqrt{H^2-2rH}[/inlmath]
Vratimo nazad u formulu za [inlmath]y[/inlmath].
[dispmath]y=\frac{r\cdot H}{\sqrt{H^2-2rH}}[/dispmath]
Sada pronadjemo povrsinu baze:
[dispmath]B=y^2\pi=\frac{r^2\cdot H}{H-2r}\pi[/dispmath]
I sada sve to ubacimo u formulu za zapreminu kupe:
[dispmath]\enclose{box}{V=\frac{r^2\cdot H^2}{H-2r}\cdot\frac{\pi}{3}}[/dispmath]
Preskako sam neke racunske delove jer sam mislio da nema potrebe sve da ispisujem, nadam se je postupak jasan.

Jasno je meni to, ali ne znam kako da ispitam potkorenu velicinu.
Profesor je pre tog kontrolnog radio slican zadatak samo je data kruznica [inlmath]r=10[/inlmath],
u njoj je upisan pravougaonik cija je jedna stranica [inlmath]x[/inlmath] i treba izraziti [inlmath]P[/inlmath] pravougaonika kao funkciju od [inlmath]x[/inlmath].

On je radio na sledeci nacin: Posto je [inlmath]P=x\cdot b[/inlmath] a dijagonala pravougaonika [inlmath]20\;(d=2r)[/inlmath]
preko pitagorine teoreme dobijemo da je [inlmath]b^2=400-x^2[/inlmath] i kada to korenujemo dobijemo da je [inlmath]b=\pm\sqrt{400-x^2}[/inlmath]
Posto je to iracionalna funkcija treba da odredimo njen domen(to su lekcije koje trenutno radimo)
imamo uslov da je [inlmath]400-x^2\ge0[/inlmath]
i preko grafika dobijemo da je [inlmath]x\in[0,20][/inlmath]
Znaci meni nije jasno kako da uradim sa korenom ono sto je on radio u ovom zadatku. tj kako da odredim domen za elemente ispod korena.

Savetovao bih ti da koristis latex za matematicke formule u skladu sa pravilnikom a i zbog preglednosti, ako ga ne znas imas uputstvo.
Tebe buni kako da odredis domen funkcije?
[dispmath]f(x)=\sqrt{400-x^2}[/dispmath]
Sada posto je koren definisan samo za pozitivne realne brojeve izraz pod korenom treba da bude veci od nule.
[dispmath]400-x^2\geq 0\\
(20-x)(20+x)\geq0[/dispmath]
Resenje ovoga su [inlmath]\forall x\in[-20, 20][/inlmath] i to je resenje, ali posto ovaj zadatak ima veze sa geometrijom zakljucujemo da nema smisla imati negativne duzine stranica/dijagonala, uglova, povrsina itd. pa vidimo da ce nam odgovor iz onog intervala biti samo [inlmath]\forall x\in[0, 20][/inlmath]

Ja sam razumeo kako je on odredio domen u zadatku sa pravougaonikom,
ali ne razumem kako da odredim domen za zadatak sa kupom i loptom

Stvarno ne razumem u cemu je problem. XD
Pa pogledas krajnu formulu za zapreminu:
[dispmath]V=\frac{r^2\cdot H^2}{H-2r}\cdot\frac{\pi}{3}[/dispmath]
Samo ubacimo [inlmath]r=2[/inlmath] :
[dispmath]V(H)=\frac{4H^2}{H-4}\cdot\frac{\pi}{3}[/dispmath]
I ovde vidis da je zapremina funkcija po visini kupe. Ovo je jedna racinalno razlomljena funkcija.
U brojiocu je sve u redu on je definisan za ceo skup realnih brojeva. Imenilac mora biti razlicit od nule u ovom slucaju [inlmath]4[/inlmath].
Imamo da je funkcija zapremine definisana [inlmath]\forall H\in(-\infty,4)\cup(4,+\infty)[/inlmath]. Naravno posto je ovo geometrijski zadatak odbacujemo one [inlmath]H[/inlmath] kada je zapremina negativna, pa imamo da je resenje [inlmath]\forall H\in(4,+\infty)[/inlmath].
To se i moglo zakljuciti sa slike jer ako je [inlmath]H\leq2r[/inlmath] visina bi bila unutar lopte tj. ne bismo imali kupu, ali visinu mozemo slobodno produzavati do beskonacnosti.

Hvala mnooogo
Skontao sam konacno
Ni ja ne znam kako odmah nisam tako uradio