Mnogo vam hvala

Evo kako glase zadaci:

1.Rijesiti algebarsku jednacinu:
[dispmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324=0[/dispmath]
2.Razloziti na parcijalne razlomke sljedece racionalne funkcije:
[dispmath]a)\;F(x)=\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)^2}[/dispmath]
[dispmath]b)\;F(x)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}[/dispmath]
3.Dokazati da postoji polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] s cjelobrojnim koeficijentima takav da je [inlmath]P(13)-P(7)[/inlmath] prost broj.

Eto to je sve SRDACNO SE ZAHVALJUJEM!!

Od mene za sada prvi.

1) Rastaviš levu stranu na faktore. Posmatraš je kao polinom, nađeš jedan koren- najbolje [inlmath]3[/inlmath] ([inlmath]P(3)=0[/inlmath]), pa podeliš sve sa [inlmath]x-3[/inlmath]. Ta [inlmath]3[/inlmath] će biti nula i tako dobijenog polinom 4-og stepena, pa opet deliš sa [inlmath]x-3[/inlmath]. Dobijaš polinom trećeg stepena, trojka je opet nula, pa opet deliš sa [inlmath]x-3[/inlmath] i onda dobijaš [inlmath]x^2+8x+12[/inlmath], što rešiš kao kvadratnu i dobiješ još dva rešenja- [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-6[/inlmath].
Dakle, rešenja su, [inlmath]-2,-6,3[/inlmath].

Nego, treći nešto ne štima, pošto mi ispada da ta razlika, ne može biti prost broj.
Znači, opšti slučaj [inlmath]P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]
Analogno: [inlmath]P(y)=a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_2y^2+a_1y+a_0[/inlmath]

Oduzimanjem:
[dispmath]P(x)-P(y)=a_n\left(x^n-y^n\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}-y^{n-1}\right)+\cdots +a_2\left(x^2-y^2\right)+a_1(x-y)[/dispmath]
Pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iste parnosti [inlmath]x^k-y^k[/inlmath] za [inlmath]k=n,n-1,\dots ,2,1[/inlmath] sledi da je razlika ovih polinoma paran broj.
Pošto je [inlmath]2[/inlmath] jedini prost broj, sledi da je ta razlika takva. Ipak, pošto je [inlmath]P(x)-P(y)[/inlmath] sasvim jasno deljivo i sa [inlmath]x-y[/inlmath], odnosno [inlmath]6[/inlmath], sledi da je [inlmath]P(x)-P(y)[/inlmath] deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]2[/inlmath] to nije. Kontradikcija.

Inace, alma zadatak ide da se treba dokazati da NE postoji polinom [inlmath]P(x)[/inlmath]... imam i ja isti samo su u mene da je [inlmath]P(11)-P(3)[/inlmath]..

Da tako je moja greska hvala intergal ^__^

alma92 je napisao:2.Razloziti na parcijalne razlomke sljedece racionalne funkcije:
[dispmath]a)\;F(x)=\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)^2}[/dispmath]

Ranije sam već pisao o tome kako se racionalne funkcije rastavljaju na parcijalne razlomke, pa da se ne bih sad ponavljao, uputstvo koje sam dao nalazi se u ovom postu.

Na primeru ove konkretne funkcije,[dispmath]F\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]to bi izgledalo ovako:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{\left(x-2\right)^2}\quad\left(1\right)[/dispmath]pa onda nađemo zbir tih razlomaka, svođenjem na zajednički imenilac:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{A\left(x-2\right)^2+B\left(x-1\right)\left(x-2\right)+C\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]Posle sređivanja brojioca i grupisanja sabiraka istog stepena promenljive [inlmath]x[/inlmath], dobija se[dispmath]F\left(x\right)=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-4A-3B+C\right)x+\left(4A+2B-C\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]i kad to izjednačimo s početnim oblikom[dispmath]F\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]dobijamo sistem od tri jednačine s tri nepoznate[dispmath]A+B=0[/dispmath][dispmath]-4A-3B+C=2[/dispmath][dispmath]4A+2B-C=1[/dispmath]čija su rešenja[dispmath]A=3[/dispmath][dispmath]B=-3[/dispmath][dispmath]C=5[/dispmath]i kad to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], dobijamo[dispmath]F\left(x\right)=\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{\left(x-2\right)^2}[/dispmath]

alma92 je napisao:[dispmath]b)\;F(x)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}[/dispmath]

Pošto ovde u brojiocu imamo polinom većeg stepena od onog u imeniocu, potrebno je prvo izvršiti deljenje tih polinoma. Ovde sam opisao kako se to radi. Dobijemo količnik [inlmath]x^3-1[/inlmath] i ostatak [inlmath]-2x+1[/inlmath], pa zadatu funkciju pišemo na sledeći način:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}=x^3-1+\frac{-2x+1}{x^3-2x+1}[/dispmath]Izraz u imeniocu, [inlmath]x^3-2x+1[/inlmath], razložimo na faktore na sledeći način:[dispmath]x^3-2x+1=x^3-x^2+x^2-x-x+1=x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)[/dispmath]Faktor drugog stepena, [inlmath]\left(x^2+x-1\right)[/inlmath], ne može se razložiti na faktore prvog stepena s realnim koeficijentima, jer mu je diskriminanta manja od nule.[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath][dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]I dalje je princip potpuno isti kao i u prethodnom zadatku.

Na kraju se dobije[dispmath]A=-1[/dispmath][dispmath]B=1[/dispmath][dispmath]C=0[/dispmath]i kad to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], dobijamo[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1-\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x^2+x-1}[/dispmath]

[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]I dalje je princip potpuno isti kao i u prethodnom zadatku.

Kako ovo dalje uzmem zajednički sadrzilac da je [inlmath](x-1)\left(x^2+x-1\right)[/inlmath] i kad sve izmnozim dobijem ovako:
[inlmath]x^6+x^5-x^4-x^5-x^4+x^3-x^3-x^2+x+x^2+x+1+Ax^2+Ax-A+Bx-B+Cx-C[/inlmath]??

P.S. Ovo mi dodje super vjezba, jer i u mene ima ovaj zadatak samo drugi brojevi, mislim tako nam je svima.. pa taman svoj sam uradila pod a i b..samo ovo sam zapela

indira-aa je napisao:Kako ovo dalje uzmem zajednički sadrzilac da je [inlmath](x-1)\left(x^2+x-1\right)[/inlmath] i kad sve izmnozim dobijem ovako:
[inlmath]x^6+x^5-x^4-x^5-x^4+x^3-x^3-x^2+x+x^2+x+1+Ax^2+Ax-A+Bx-B+Cx-C[/inlmath]??

Ne, onaj levi deo, [inlmath]x^3-1[/inlmath], ne diraš. Njega samo prepisuješ kroz ceo postupak, a postupak primenjuješ samo na ovaj desni deo, [inlmath]\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}[/inlmath]. Znači,[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A\left(x^2+x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath]Nastavi dalje...

indira-aa je napisao:P.S. Ovo mi dodje super vjezba, jer i u mene ima ovaj zadatak samo drugi brojevi, mislim tako nam je svima.. pa taman svoj sam uradila pod a i b..samo ovo sam zapela

Da, da, siguran sam da je tako...

Nastavi dalje...

Ja dobijem ovako:
[dispmath]F(x)=x^3-1+\frac{Ax^2+(A+B+C)x-A-B-C}{(x-1)(x^2+x-1)}[/dispmath]
I sad ne znam kako da to izjednacim da dobijem sistem :/