Dokaži da za pozitivne realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] ([inlmath]a>b[/inlmath]) vrijedi [inlmath]a^2+b^2=6ab[/inlmath] onda i samo onda ako je
[dispmath]\log(a+b)-\log(a-b)=\frac{1}{2}\log2[/dispmath] Bio bih veoma zahvalan ako bi netko mogao postati objašnjenje i malo pojasniti o čemu se radi...

Prvo, želim ti dobrodošlicu na forum.
Drugo, ne znam zašto si ovolikim slovima napisao svoj post . Takođe, trebalo je da naglasiš koji ti je tačno deo nejasan, ili ako nemaš ideju da tako i napišeš. U svakom slučaju, ništa strašno, za prvi put, nisi toliko loše postavio pitanje (pre svega, mislim na (donekle) korišćenje Latex-a, koji je trebalo da iskoristiš i u tekstu zadatka). Mada bi mogao još jednom da pročitaš Pravilnik (tačke 3. i 6.).
Ne znam koliko su ti poznate osobine logaritama, ovde bi trebalo primeniti sledeće:
[dispmath]\log{a}+\log{b}=\log{a\cdot b}\\
\log{a}-\log{b}=\log\small{\frac{a}{b}}\\
x\cdot\log{a}=\log{a^x}[/dispmath] Dakle, polaznu jednakost pomnožiš sa dva (da bi izgubio ovu polovinu) i nakon što iskoristiš gorenavedene osobine logaritama dobićeš:
[dispmath]\log\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\log2[/dispmath] odnosno:
[dispmath]\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=2\\
(a+b)^2=2\cdot(a-b)^2\\
a^2+2ab+b^2=2a^2-4ab+2b^2[/dispmath] sada skratiš šta se skratiti može i dobićeš ono što se traži u zadatku, odnosno:
[dispmath]a^2+b^2=6ab[/dispmath]
P. S. Treba primetiti i da nismo u startu morali obe strane da množimo sa [inlmath]2[/inlmath], u tom slučaju dobili bismo:
[dispmath]\frac{a+b}{a-b}=\sqrt2[/dispmath] pa bismo sada kvadrirali i dobili isto, međutim kod kvadriranja uvek treba biti oprezan, u ovom zadatku ne, ali uopšte da, recimo u slučaju [inlmath]a>b[/inlmath] iz ovoga ne sledi [inlmath]a^2>b^2[/inlmath] ([inlmath]3>-4[/inlmath], ali [inlmath]9<16[/inlmath]).

Hvala na izraženoj dobrodošlici i na opaskama, kao i na razumijevanu.
Početnik sam u Latex-u, pa se još baš ne snalazim, potrudit ću se ubuduće bolje pripaziti kako i što pišem, a i svakako ću dodatno proučiti Pravilnik foruma, kao i instrukcije za Latex... malo mi se žurilo s ovim zadatkom...

Moje isprike za velika slova, pisao sam tako čisto stoga što imam problema s vidom .. vidim normalno dok nosim naočale, no puno je lakše čitati veća slova jer manje naprežem oči. Promaklo mi je da se u Pravilniku pisanje velikim fontom također smatra "vikanjem", jer sam mislio da vikanje općenito podrazumijeva samo pisanje verzalom, tj. svim štampanim slovima i eventualno podebljanim fontom...ubuduće ću zumirati stranicu u pregledniku da vidim veća slova prilikom pisanja...

Što se tiče zadatka, sada mi je sve jasno. Upoznat sam s osnovnim pravilima logaritma ali jednostavno se nisam sjetio na koji način dokazati, sad razbijam glavu kako mi nije ovo palo na pamet ...

Ovo rješenje mi je puno bolje sjelo nego ono iz knjige... oni su to objasnili malo šturo i išli nekim obrnutim putem, a to sve me samo dodatno zbunilo - sad mi je i to rješenje jasnije.

Rješenje iz knjige:

Jednakost [inlmath]a^2+b^2=6ab[/inlmath] ekvivalentna je dvjema jednakostima: [inlmath](a+b)^2=8ab[/inlmath] i [inlmath](a-b)^2=4ab[/inlmath].
Podijelimo li ih, dobit ćemo:
[dispmath]\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2=2[/dispmath] a odatle izravno slijedi druga jednakost.

Eto, nadam se da su matematički izrazi sada bolje ukomponirani u rečenice, svakako mi izgleda puno preglednije.

Hvala još jednom na svemu.

Nema na čemu.
Eto, već si se snašao sa Latex-om.
Njihovo rešenje se ne razlikuje mnogo, s tim što su oni išli u "kontra smeru" ekvivalencije:
[dispmath]a^2+b^2=6ab\iff\log(a+b)-\log(a-b)=\frac{1}{2}\log2[/dispmath] i, naravno, [inlmath]a,b>0[/inlmath]. Dobro je što si postavio i njihovo rešenje, sad imamo dokaze "iz oba smera".

@dr.trovacek, dobrodošlica i od mene.
Korigovao sam tvoj post, u skladu s pravilima – veliki font nije nepoželjan samo na ovom forumu, već postoji i neko nepisano pravilo da se u bilo kakvoj internet-komunikaciji uvećana slova tumače kao vikanje. OK, jasno je da to ovde nije bio slučaj, rekao si šta je bio razlog, nego čisto da za to znaš i van ovog foruma.

Malo bih prokomentarisao uslove koji su dati u zadatku.
Formule
[dispmath]\log a+\log b=\log a\cdot b\\
\log a-\log b=\log\frac{a}{b}\\
x\log a=\log a^x[/dispmath] važe samo kada su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] strogo pozitivni brojevi. U suprotnom, ne bi svi izrazi bili definisani. Recimo, ako su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] negativni, tada bi u jednakosti [inlmath]\log a+\log b=\log a\cdot b[/inlmath] desna strana bila definisana, ali leva ne bi, pa samim tim ni jednakost ne bi mogla važiti.

Zbog toga je bitan uslov u tekstu zadatka da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pozitivni realni brojevi, kako bi [inlmath]\log a[/inlmath] i [inlmath]\log b[/inlmath] bili definisani, ali i da bi [inlmath]a+b[/inlmath] bio pozitivan broj, kao i uslov da je [inlmath]a>b[/inlmath], kako bi [inlmath]a-b[/inlmath] bio pozitivan broj. To je bitno, kako bi važilo [inlmath]\log(a+b)-\log(a-b)=\log\frac{a+b}{a-b}[/inlmath].
A pošto je odatle pozitivan i količnik [inlmath]\frac{a+b}{a-b}[/inlmath], samim tim važi i [inlmath]2\log\frac{a+b}{a-b}=\log\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}[/inlmath].

O tome je Corba248 pisao u ovom delu,

Corba248 je napisao:P. S. Treba primetiti i da nismo u startu morali obe strane da množimo sa [inlmath]2[/inlmath], u tom slučaju dobili bismo:
[dispmath]\frac{a+b}{a-b}=\sqrt2[/dispmath] pa bismo sada kvadrirali i dobili isto, međutim kod kvadriranja uvek treba biti oprezan, u ovom zadatku ne, ali uopšte da, recimo u slučaju [inlmath]a>b[/inlmath] iz ovoga ne sledi [inlmath]a^2>b^2[/inlmath] ([inlmath]3>-4[/inlmath], ali [inlmath]9<16[/inlmath]).

(Da se neko ne zbuni, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz primera [inlmath]a>b[/inlmath] nemaju nikakve veze s [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednačine [inlmath]\frac{a+b}{a-b}=\sqrt2[/inlmath].)
A pri kvadriranju jednačine [inlmath]\frac{a+b}{a-b}=\sqrt2[/inlmath], kao i prilikom kvadriranja bilo koje jednačine, treba voditi računa o predznaku leve i desne strane pre kvadriranja, pa ako je potrebno, postaviti uslove. Ovde, kao što Corba248 reče, nema potrebe za time, jer su i [inlmath]a+b[/inlmath] i [inlmath]a-b[/inlmath] pozitivni (zbog pomenutih uslova u tekstu zadatka) što znači da je i [inlmath]\frac{a+b}{a-b}[/inlmath] pozitivan, tj. pozitivne su obe strane jednačine, te se ista može bez problema kvadrirati.