ETF Prijemni 2016
9. zadatak

Skup svih vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] [inlmath](a\in\mathbb{R}\setminus\{0\})[/inlmath] tako da koreni [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] kvadratne jednačine [inlmath]ax^2+ax+1=0[/inlmath] zadovoljavaju nejednačinu [inlmath]\frac{(x_1+1)^2+(x_2+1)^2}{(x_1-1)^2+(x_2-1)^2}\le1[/inlmath], jeste:

Rešenje: [inlmath](-\infty,0)\cup\left(\frac{2}{5},+\infty\right)[/inlmath]

Ja sam ga uradio ovako:

Prvo odredimo Vijetove veze za datu kvadratnu jendačinu:
[dispmath]x_1+x_2=-\frac{a}{a}=-1,\;x_1\cdot x_2=\frac{1}{a}[/dispmath]
Zatim sređujemo nejednačinu:
[dispmath]\frac{x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1}{x_1^2-2x_1+1+x_2^2-2x_2+1}\le1[/dispmath][dispmath]\frac{x_1^2+2x_1+x_2^2+2x_2+2}{x_1^2-2x_1+x_2^2-2x_2+2}-1\le0[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel{x_1^2}+2x_1+\cancel{x_2^2}+2x_2+\cancel2-\cancel{x_1^2}+2x_1-\cancel{x_2^2}+2x_2-\cancel2}{x_1^2+x_2^2-2x_1-2x_2+2}\le0[/dispmath][dispmath]\frac{4(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)+2}\le0[/dispmath]
Sada možemo da uvrstimo Vijetove veze pa nakon malo sređivanja dobijemo nejednačinu:
[dispmath]\frac{-4}{\frac{5a-2}{a}}\le0[/dispmath]
Pošto je [inlmath]-4[/inlmath] uvek manje od nule, izraz u imeniocu [inlmath]\frac{5a-2}{a}[/inlmath] mora biti veći od nule da bi cela nejednačina bila [inlmath]\le0[/inlmath]

Rešavanjem poslednje nejednačine dobijamo da [inlmath]a\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{2}{5},+\infty\right)[/inlmath]

extremesportist je napisao:[dispmath]\frac{4(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)+2}\le0[/dispmath]

A gde je greška ako se Vijetove formule primene samo na brojilac, pošto je imenilac ([inlmath](x_1-1)^2+(x_2-1)^2[/inlmath]) uvek pozitivan?

Ali u tom slučaju se dobija da znak nejednačine zavisi samo od izraza [inlmath](x_1+x_2)[/inlmath], odnosno nejednačina važi za svako [inlmath]a[/inlmath] [inlmath](a\in\mathbb{R}\setminus\{0\})[/inlmath], jer je [inlmath](x_1+x_2)=-1[/inlmath] ?!

Pera je napisao:pošto je imenilac ([inlmath](x_1-1)^2+(x_2-1)^2[/inlmath]) uvek pozitivan?

Verovatno si hteo da kažeš nenegativan, pošto taj izraz može biti i nula (kada je [inlmath]x_1=x_2=1[/inlmath]).
Međutim, taj izraz može biti i manji od nule, onda kada [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] predstavljaju konjugovano kompleksna rešenja. Jer, nigde u tekstu zadatka nije ni rečeno da rešenja moraju biti realna.
Pritom, lako se pokazuje da i kad su rešenja konjugovano kompleksna, dati izraz [inlmath]\frac{(x_1+1)^2+(x_2+1)^2}{(x_1-1)^2+(x_2-1)^2}[/inlmath] opet mora biti realan, tako da relacija [inlmath]\le[/inlmath] uvek ima smisla (svakako ne bi imala smisla da je u pitanju kompleksan broj jer se kompleksni brojevi ne mogu porediti po veličini).

Odlično je što si ovo primetio i što si postavio to pitanje, jer bi i drugima moglo otkloniti nejasnoće.