Naci jednacinu kruga koji sadrzi tacku [inlmath]A(1,0)[/inlmath] i dodiruje dve paralelne prave [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] i [inlmath]s\colon2x+y-18=0[/inlmath].
Jednacina kruga (tacnije kruznice) u opstem obliku glasi [inlmath](x-a)^2+(b-a)^2=r^2[/inlmath]. Prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] dodiruju krug, tj. one su njegove tangente. Prava oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath] je tangenta kruga ako je [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n)^2[/inlmath]. Iz ovoga zakljucujem: Da bi prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] bile tangente kruga neophodno je da ispunjavaju uslove
[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_1)^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_2)^2[/dispmath] Poluprecnik kruga [inlmath]r[/inlmath] je jednak polovini rastojanja izmedju prava [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]. Na primer, uzmem tacku [inlmath]N(-1,0)[/inlmath] koja pripada pravoj [inlmath]p[/inlmath] i odredim njeno rastojanje od prave [inlmath]s[/inlmath]. Dobijam da je rastojanje tacke [inlmath]N[/inlmath] od prave [inlmath]s[/inlmath] jednako [inlmath]4\sqrt5[/inlmath] sto je ujedno i rastojanje prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], pa je [inlmath]r=\frac{4\sqrt5}{2}=2\sqrt5[/inlmath]. Sad ako se vratim na navedeni sistem imam dve jednacine sa dve nepoznate (imam [inlmath]r[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath], [inlmath]n_1[/inlmath], [inlmath]n_2[/inlmath], a traze se koordinate centra kruga, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]). Kad sredim ovaj sistem dobijem odnos [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Kako imam sistem sa istim brojem jednacina i nepoznatih trebalo bi da dobijem ogranicen broj resenja, u zavisnosti od vrste jednacina.
Sa druge strane, logicno je da postoji beskonacno mnogo krugova kojima je poluprecnik [inlmath]2\sqrt5[/inlmath], a prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] tangente (a ni tacka [inlmath]A[/inlmath] nije data bez razloga). Sad ne znam koja od ove dve konkluzije je pogresna, rekao bih da je prva (broj jednacina i broj nepoznatih), ali ne znam sta je tacno u njoj pogresno.

Samo da pitam, da li se traži jednačina kruga koji sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath], ili jednačina kružnice koja sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath]?

U prvom slučaju ćeš imati beskonačan broj krugova koji zadovoljavaju uslov zadatka. Ali, tada nećeš raditi preko jednačine kružnice nego preko jednačine kruga. U ovom slučaju bi bio tačan tvoj zaključak o beskonačnom broju krugova.

U drugom slučaju koristimo jednačinu kružnice i tada ćemo imati tačno dva rešenja. U ovom slučaju bi bio tačan tvoj zaključak da sistem dve jednačine sa dve nepoznate ima dva rešenja.

Dakle oba tvoja zaključka su tačna, ali ne u isto vreme. U zavisnosti od toga šta se traži koristićeš jedno ili drugo.

Dodao bih (zbog eventualnih budućih sličnih zadataka) da ovakvo rasuđivanje važi kada se tačka [inlmath]A[/inlmath] nalazi "između" pravih. Ukoliko bi se tačka [inlmath]A[/inlmath] nalazila na jednoj od ove dve prave, postojao/la bi samo jedan/jedna krug/kružnica koji/a ispunjava uslove zadatka. Ako bi tačka [inlmath]A[/inlmath] bila "izvan" ove dve prave, zadatak ne bi imao rešenje.

miletrans je napisao:Samo da pitam, da li se traži jednačina kruga koji sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath], ili jednačina kružnice koja sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath]?

U zbirci pise "odrediti jednacinu kruga", ali sudeci po drugim zadacima i njihovim resenjima trazi se u stvari "jednacina kruznice" (ocigledno je da nisu dovoljno precizni).

Evo da jos malo bolje formulisem svoje pitanje: Kad izracunam poluprecnik kruga imam sistem od dve jednacine i dve nepoznate (zanemarujem tacku [inlmath]A[/inlmath]) i samim tim bi trebalo da dobijem resenja tipa (npr. [inlmath]a=5[/inlmath], [inlmath]b=-6[/inlmath]), a ne odnos [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] (npr. [inlmath]a=2b+7[/inlmath]). Sa druge strane logicno je da ce postojati beskonaco puno krugova koji se nalaze izmedju prava [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] (samim tim koordinate centra nisu "fiksirane"), ali postoje samo dva kruga koja sadrze tacku [inlmath]A[/inlmath] (sto si ti vec vrlo razumljivo objasnio). Nadam se da sam sad bio malo precizniji.

Pa, hajde da lepo uvrstimo konkretne vrednosti u jednačine koje si dobio,

Frank je napisao:[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_1)^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_2)^2[/dispmath]

pa da vidimo šta se tu dešava. Dobiće se
[dispmath]-2a-b-2=\pm10\\
-2a-b+18=\pm10[/dispmath] Pošto u obe jednačine [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] figurišu isključivo kao [inlmath]-2a-b[/inlmath], odmah je jasno da od dobijanja konkretnih vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath] – nema ništa. U najboljem slučaju, dobićemo samo koliko iznosi [inlmath]-2a-b[/inlmath], tj. veza između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Kako su rešenja prve jednačine [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath] i [inlmath]-2a-b=12[/inlmath], a rešenja druge jednačine [inlmath]-2a-b=-28[/inlmath] i [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath], a moraju i jedna i druga jednačina biti zadovoljene, to za rešenje ovog sistema dobijamo [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath].
Ovo, zapravo, znači da se centar kružnice (s koordinatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]) mora nalaziti na pravoj čija je jednačina [inlmath]-2x-y=-8[/inlmath] (što je i logično, jer je to prava paralelna pravama [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], a podjednako udaljena od obe prave – tj. do njene jednačine smo mogli doći i na lakši način, time što znamo da joj je koeficijent pravca jednak koeficijentima pravaca pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], a slobodan član joj je jednak aritmetičkoj sredini slobodnih članova pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]).

BTW ono preostalo rešenje prve jednačine, [inlmath]-2a-b=12[/inlmath], odgovaralo bi kružnicama koje bi dodirivale pravu [inlmath]p[/inlmath], ali bi se nalazile sa suprotne strane prave [inlmath]p[/inlmath] nego prava [inlmath]s[/inlmath]. (Analogno i za rešenje [inlmath]-2a-b=-28[/inlmath].)

Frank je napisao:U zbirci pise "odrediti jednacinu kruga", ali sudeci po drugim zadacima i njihovim resenjima trazi se u stvari "jednacina kruznice" (ocigledno je da nisu dovoljno precizni).

Eh, nedoslednost među matematičarima oko značenja pojmova (i kamo lepe sreće da je to jedina nedoslednost u matematici – ima ih kol'ko voliš, nažalost). Ovde je bilo reči o tome.

Daniel je napisao:Pošto u obe jednačine [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] figurišu isključivo kao [inlmath]-2a-b[/inlmath], odmah je jasno da od dobijanja konkretnih vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath] – nema ništa.

Da, da, a da je pisalo na primer
[dispmath]a+2b=\pm10[/dispmath][dispmath]-2a+b+10=\pm10[/dispmath] onda bi postojalo jedinstveno resenje? Mislim da je to ono sto je me bunilo.

Daniel je napisao:Eh, nedoslednost među matematičarima oko značenja pojmova (i kamo lepe sreće da je to jedina nedoslednost u matematici – ima ih kol'ko voliš, nažalost).

Kruznica je samo deo kruga, tu nema diskusije.

Frank je napisao:Da, da, a da je pisalo na primer
[dispmath]a+2b=\pm10[/dispmath][dispmath]-2a+b+10=\pm10[/dispmath] onda bi postojalo jedinstveno resenje? Mislim da je to ono sto je me bunilo.

Ne bi postojalo jedinstveno rešenje, zbog znaka [inlmath]\pm[/inlmath], ali bi postojao konačan broj rešenja. To ostavljam tebi da proveriš, nije teško, prvoj jednačini pomnoženoj sa dva dodaš drugu jednačinu (ili od prve jednačine oduzmeš drugu pomnoženu sa dva – isti đavo). A ja sad odo' spavat.

Daniel je napisao:U najboljem slučaju, dobićemo samo koliko iznosi [inlmath]-2a-b[/inlmath], tj. veza između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Zasto u najboljem slucaju, jel ne mora uvek da se dobije veza izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]? Jedan slican zadatak sam radio na ovaj nacin i na kraju nema nikakvog preseka, tj. sve 4 jednacine u kojima fugurisu [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su razlicite.

Pa eto, upravo si sam sebi dao odgovor na pitanje.

Najočigledniji takav primer bio bi sistem [inlmath]\begin{array}{l} -2a-b=0\\ -2a-b=1 \end{array}[/inlmath].

Daniel je napisao:Najočigledniji takav primer bio bi sistem [inlmath]\begin{array}{l} -2a-b=0\\ -2a-b=1 \end{array}[/inlmath].

Ovo mi nije jasno. Ovde su leve strane jednake, samim tim moraju biti i desne. Ocigledno [inlmath]0\ne1[/inlmath], pa zakljucujem da sistem nema resenja. Al iz prethodnih postova u vezi sistema vidim da je ovaj zakljucak pogresan, pa mi nije jasno gde gresim.

Pitao si zbog čega sam rekao „u najboljem slučaju“, i ja sam ti dao primer sistema koji nema rešenja.

Pošto je ovo ipak tema o paralelnim pravama i kružnici a ne o sistemima jednačina, zamoliću te da, ukoliko imaš još nejasnoća oko linearnih sistema, to postaviš kao posebnu temu u „Linearnoj algebri“.