Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

od **miljan1403** » Utorak, 21. April 2020, 20:10

Prijemni ispit MATF – 27. jun 2018.
9. zadatak

Zadatak ide ovako: Konveksan četvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath] upisan je u krug poluprečnika [inlmath]2[/inlmath]. Ako je dužina dijagonale [inlmath]AC=4[/inlmath], a [inlmath]\angle BDC=30^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle ACD=45^\circ[/inlmath], onda je proizvod dužina stranica četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednak: (Priložio sam sliku)

: cetvorougaonik.png (4.55 KiB) Pogledano 2799 puta

Rešenje je: [inlmath]32\sqrt3[/inlmath]
Ono što sam ja zaključio jeste: [inlmath]AC=R[/inlmath] zato što je [inlmath]AC[/inlmath] ujedni i najveća tetiva moguća unutar trougla. Takođe da je [inlmath]\angle DTC=105^\circ[/inlmath], [inlmath]T[/inlmath] je tačka u preseku [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]DB[/inlmath] (Izvinite nisam obeležio na slici). Iz toga sledi da je [inlmath]\angle DTA=75^\circ[/inlmath], zato što zbir uglova [inlmath]\angle DTC+\angle DTA=180^\circ[/inlmath]

I tu sam stao. Ima li neko ideju?

od **Daniel** » Utorak, 21. April 2020, 20:29

Pošto si ispravno uočio da je dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] ujedno i prečnik kružnice, jasno je koliko mora iznositi ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath]. Odatle, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle ADC[/inlmath], možemo odrediti i treći njegov ugao, [inlmath]\angle CAD[/inlmath]. Šta nam to govori o trouglu [inlmath]\triangle ADC[/inlmath], kakav je to trougao? Kad ovo zaključimo, možemo odmah, bez mnogo računanja, odrediti stranice [inlmath]CD[/inlmath] i [inlmath]DA[/inlmath].

Prelazimo na trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Ista priča koja je važila za ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath] važi sada i za ugao [inlmath]\angle ABC[/inlmath]. Ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath] je nad istom tetivom kao i ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath], prema tome, i on je poznat. Koliki je onda treći ugao trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], ugao [inlmath]\angle ACB[/inlmath]? Kakav je onda trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]? Odavde možemo takođe bez mnogo računa odrediti i stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath].

od **miljan1403** » Utorak, 21. April 2020, 20:49

Daniel je napisao:Pošto si ispravno uočio da je dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] ujedno i prečnik kružnice, jasno je koliko mora iznositi ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath].

Da li je to da je svaki ugao naspram prečnika kružnice jednak [inlmath]90^\circ[/inlmath]?

od **Daniel** » Utorak, 21. April 2020, 20:51

Da, periferni ugao nad prečnikom uvek je prav ugao.

od **miljan1403** » Utorak, 21. April 2020, 21:53

Daniel je napisao:Ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath] je nad istom tetivom kao i ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath], prema tome, i on je poznat.

Nisam siguran da razumem ovaj deo. Nad kojom tetivom su oni isti? :kojik:

Edit: Da se ne misli na [inlmath]BC[/inlmath]?

od **Daniel** » Sreda, 22. April 2020, 07:48

Kad se uglovi obeležavaju s tri velika slova, tada su prvo i poslednje slovo oznake tačaka koje se nalaze na različitim kracima tog ugla, dok je slovo u sredini – teme tog ugla.
Znači, uglovi [inlmath]\angle{\color{red}B}A{\color{red}C}[/inlmath] i [inlmath]\angle{\color{red}B}D{\color{red}C}[/inlmath] su uglovi nad tetivom [inlmath]BC[/inlmath], logično. Teme prvog ugla je tačka [inlmath]A[/inlmath], a teme drugog ugla je tačka [inlmath]D[/inlmath].

A pošto su to periferni uglovi nad istom tetivom, i to oba s iste strane te tetive, oni su jednaki. Da li ti je poznata ta osobina perifernih uglova?

od **miljan1403** » Sreda, 22. April 2020, 17:57

Da jeste poznata mi je. On je dva puta manji od centralnog ugla nad tetivom, a takođe su svi periferni uglovi nad tetivom jednaki. Zar ne?

Uspeo sam da uradim zadatak, hvala ti puno

od **Daniel** » Četvrtak, 23. April 2020, 06:51

Nema na čemu. :thumbup:

miljan1403 je napisao:On je dva puta manji od centralnog ugla nad tetivom, a takođe su svi periferni uglovi nad tetivom jednaki. Zar ne?

Ako ćemo da budemo baš precizni, prvi deo rečenice važi onda kada posmatramo periferni ugao koji je s iste strane tetive s koje je i centar kružnice.
Slično važi i za drugi deo rečenice – periferni uglovi nad istom tetivom su jednaki ako su sa iste strane te tetive. Ako su sa suprotnih strana tetive, onda su sumplementni (zbir im je [inlmath]180^\circ[/inlmath]).

od **Griezzmiha** » Nedelja, 28. Jun 2020, 16:38

Dobar dan, gospodo! Ja Daniele bas i nisam u potpunosti upucen u ove pojedinosti za periferne uglove... Literatura kojom raspolazem nije obuhvatila te stvari, mozes li mozda da podelis link eventualno nekoliko postova (tema) na forumu koji obuhvataju tu tematiku?

od **Daniel** » Ponedeljak, 29. Jun 2020, 02:14

Mislim da nigde na forumu nije to detaljnije objašnjeno nego ovde. Ovo napisano u ovoj temi ti je sasvim dovoljno da to možeš primeniti u zadacima.

Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Sharuj ovu temu na:

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Re: Proizvod dužina stranica četvorougla – prijemni MATF 2018.

Ko je OnLine