blake je napisao:Ali kako znaš da mora biti prvi uvjet manje ili jednako, a ne samo manje?
[inlmath]x\le -1\quad\Rightarrow\quad x+1\le 0,\quad 2-x>0[/inlmath]

U ovom zadatku u svakom slučaju moramo razmatrati tri slučaja, budući da imamo dve kritične tačke, a te dve kritične tačke dele interval realnih brojeva [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath] na tri podintervala, pa otuda tri slučaja koja razmatramo. E sad, što se jednakosti tiče, potpuno je svejedno kojim ćemo od ta tri slučaja obuhvatiti koju jednakost, bitno je samo da svaka jednakost bude obuhvaćena jednom i samo jednom. Znači, ja sam razmatrao ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x\le -1\qquad 2^\circ\quad -1<x\le 2\qquad 3^\circ\quad x>2\quad[/inlmath] (Ovde sam mogućnost [inlmath]x=-1[/inlmath] obuhvatio [inlmath]1^\circ[/inlmath] slučajem, ali je zato nisam obuhvatio [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučajem; [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučajem sam obuhvatio mogućnost [inlmath]x=2[/inlmath], ali je zato nisam obuhvatio [inlmath]3^\circ[/inlmath] slučajem.)

Ali, mogao sam i ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x<-1\qquad 2^\circ\quad -1\le x<2\qquad 3^\circ\quad x\ge 2[/inlmath]

Ili ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x<-1\qquad 2^\circ\quad -1\le x\le 2\qquad 3^\circ\quad x>2[/inlmath]

Ili ovako:
[inlmath]1^\circ\quad x\le -1\qquad 2^\circ\quad -1<x<2\qquad 3^\circ\quad x\ge 2[/inlmath]

Dakle, bitno je samo da jednakost [inlmath]x=-1[/inlmath] bude obuhvaćena tačno jednim razmatranim slučajem. Isto važi i za jednakost [inlmath]x=2[/inlmath].
Ako te buni zašto su jednakosti uopšte neophodne, neophodne su jer bi bez njih tačke na brojnoj osi [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] ostale neobuhvaćene, pa samim tim ne bismo obuhvatili sve slučajeve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] iz skupa realnih brojeva.

blake je napisao:i ako je pri kraju [inlmath]a^2\le 4[/inlmath] kako dobijemo da je [inlmath]a\le -2\;\lor\;a\ge 2[/inlmath]

Ne, na kraju treba da se dobije [inlmath]a^2\ge 4[/inlmath], a odatle sledi [inlmath]a\le -2\;\lor\;a\ge 2[/inlmath]

blake je napisao:

Daniel je napisao:[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[inlmath]-1<x\le 2\quad\Rightarrow\quad x+1>0,\quad 2-x\ge 0[/inlmath]

Ovo mi opet nije jasno na početku ako je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] (i zašto uključuje [inlmath]2[/inlmath]?). Kako si siguran u ovo iza strelice?

Zašto uključuje [inlmath]2[/inlmath], već sam objasnio. A evo kako sledi izraz iza strelice:
po pretpostavci, [inlmath]x>-1[/inlmath]; dodamo [inlmath]1[/inlmath] i na levu i na desnu stranu i dobijemo [inlmath]x+1>0[/inlmath]
takođe, po pretpostavci, [inlmath]x\le 2[/inlmath]; oduzmemo [inlmath]x[/inlmath] i od leve i od desne strane i dobijemo [inlmath]0\le 2-x[/inlmath], tj. [inlmath]2-x\ge 0[/inlmath]

blake je napisao:

Daniel je napisao:[inlmath]3^\circ[/inlmath]
[inlmath]x>2\quad\Rightarrow\quad x+1>0,\quad 2-x<0[/inlmath]

Isto, kako je sad [inlmath]x+1>0[/inlmath], a [inlmath]2-x<0[/inlmath] ???

po pretpostavci, [inlmath]x>2[/inlmath]; dodamo [inlmath]1[/inlmath] i na levu i na desnu stranu i dobijemo [inlmath]x+1>3[/inlmath], a kako je [inlmath]3>0[/inlmath], to primenom osobine tranzitivnosti koja važi za relaciju nejednakosti [inlmath]\left(a>b\:\:\wedge\:\: b>c\:\:\Rightarrow\:\: a>c\right)[/inlmath] dobijamo i da je [inlmath]x+1>0[/inlmath]

blake je napisao:Općenito računanje s apsolutnim vrijednostima mi ne ide u skladu s nekom mojom logikom

Prečudni su mi ti tipovi zadataka di npr kaže: Vrijednost izraza [dispmath]\sqrt{\left(\sqrt{13}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{13}\right)^2}[/dispmath] jest?
I sad...umisto da to samo računamo...Nama profesorica kaže da je pod prvim korjenom rezultat pozitivan ([inlmath]+[/inlmath]), dok je pod drugim kad ovo oduzmemo rezultat negativan ([inlmath]-[/inlmath]) (ali u ovom malom zadatku čak ni nema zagrada koje označuju apsolutnu vrijednost tj. [inlmath]|x|[/inlmath] !? )
I radi toga di je [inlmath]+[/inlmath] ostavljamo kako je, a di je rezultat negativan, ispred zagrade stavljamo [inlmath]-[/inlmath]
Tj
[dispmath]=\sqrt{13}-3- -\left(2-\sqrt{13}\right)=\sqrt{13}-3+\left(2-\sqrt{13}\right)=\sqrt{13}-3+2-\sqrt{13}=-1[/dispmath]

Jeste, umeju ti kvadratni koreni da zbunjuju, jer sam primetio da se vrlo često pogrešno razumeju neki detalji koji su u vezi s ovom funkcijom.
Kvadratni koren, po definiciji, uvek ima nenegativnu vrednost. Nenegativnu, to znači da može biti pozitivan, ili eventualno nula (ako je pod korenom nula), ali nikad ne može dati negativnu vrednost, bez obzira na vrednost koja je pod korenom. Ovo naglašavam, jer je vrlo česta zabluda da, recimo, [inlmath]\sqrt 9[/inlmath] može biti [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]-3[/inlmath], budući da oba ta broja dignuta na kvadrat daju [inlmath]9[/inlmath]. E tu je zamka, [inlmath]\sqrt 9[/inlmath] može biti samo [inlmath]3[/inlmath], jer kvadratna funkcija i funkcija kvadratnog korena uopšte nisu međusobno inverzne funkcije, tj. ako neki broj dignemo na kvadrat pa zatim korenujemo, ne mora da znači da ćemo dobiti prvobitni broj. Primer je taj koji sam malopre naveo: [inlmath]\sqrt{\left(-3\right)^2}\ne -3,\quad \sqrt{\left(-3\right)^2}=3[/inlmath] (Primer može biti i bilo koji drugi negativan realan broj.)

Evo grafika na kome su predstavljene te dve funkcije, kvadratna funkcija [inlmath]x^2[/inlmath] (crvenom bojom) i kvadratni koren [inlmath]\sqrt x[/inlmath] (plavom bojom):


Funkcije koje su međusobno inverzne, gledano na grafiku međusobno su simetrične u odnosu na pravac [inlmath]x=y[/inlmath], tj. na dijagonalu koordinatnog sistema (na ovom grafiku obeležen isprekidanom linijom).
Kada bi kvadratni koren bio inverzna funkcija kvadratnoj funkciji, onda bi bio simetričan na nju u odnosu na pravac [inlmath]x=y[/inlmath], pa bi imao i donji krak parabole, ispod x-ose (i, samim tim, mogao bi imati i negativne vrednosti). Međutim, u tom slučaju, to više ne bi bila funkcija, jer bi za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] mogla dati dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath] (i pozitivnu i negativnu), a to je protivno definiciji pojma funkcije, budući da funkcija mora biti jednoznačna.
Zbog toga je usvojeno, definicijom (a čim je po definiciji, znači da se jednostavno usvaja tako – teoreme se dokazuju, a definicije i aksiome ne), da kvadratni koren može biti samo pozitivan ili nula, a samim tim, funkcije [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]\sqrt x[/inlmath] nisu međusobno inverzne.

Pošto je kvadratni koren po definiciji uvek nenegativan, isto tako je po definiciji usvojeno i da je
[inlmath]\sqrt{x^2}\:\mathop=\limits^{\mathrm{def}}\:\left|x\right|[/inlmath]
Na taj način, korišćenjem apsolutne vrednosti, izbegnuto je da se za vrednost korena dobije negativan broj, u slučaju da je [inlmath]x[/inlmath] negativno.

U već razmatranom primeru, gde je [inlmath]x^2=9[/inlmath], očigledno je da je jednakost zadovoljena za [inlmath]x=-3[/inlmath] i za [inlmath]x=3[/inlmath]. Ali, kako postpuno doći do tih rešenja? Evo kako:
[inlmath]x^2=9\quad[/inlmath] korenujemo i levu i desnu stranu:
[inlmath]\sqrt{x^2}=\sqrt 9\quad[/inlmath] primetimo da u ovom izrazu ni leva ni desna strana ne mogu biti negativne;
[inlmath]\left|x\right|=3\quad[/inlmath] i, kad se oslobodimo apsolutne vrednosti:
[inlmath]x=\pm 3\quad[/inlmath] i dobili smo rešenja koja smo i očekivali.

I zbog toga je i u ovom zadatku koji si naveo,
[dispmath]\sqrt{\left(\sqrt{13}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{13}\right)^2}[/dispmath]
sve savršeno logično.
Kad primenimo jednakost po definiciji
[dispmath]\sqrt{x^2}\:\mathop=\limits^{\mathrm{def}}\:\left|x\right|[/dispmath]
dati izraz postaje
[dispmath]\left|\sqrt{13}-3\right|-\left|2-\sqrt{13}\right|[/dispmath]
A pošto je funkcija apsolutne vrednosti definisana kao:
[dispmath]\left|x\right|=\begin{cases}
x & \quad x\ge 0\\
-x & \quad x<0\\
\end{cases}[/dispmath]
sasvim je razumljivo da ćemo umesto [inlmath]\left|\sqrt{13}-3\right|[/inlmath] pisati [inlmath]\sqrt{13}-3[/inlmath], budući da je [inlmath]\sqrt{13}-3>0[/inlmath], a da ćemo umesto [inlmath]\left|2-\sqrt{13}\right|[/inlmath] pisati [inlmath]-\left(2-\sqrt{13}\right)[/inlmath], budući da je [inlmath]2-\sqrt{13}<0[/inlmath].

Sad malo jasnije? Ako sam nešto propustio, pitaj slobodno.

Sad puno jasnije
imam još
ovo je ka lagano, ali svejedno ne dobijem dobar rezultat

Zadan je kompleksni broj [dispmath]z=(a+i)^2+\frac{a}{i}[/dispmath] gdje je [inlmath]a[/inlmath] element skupa realnih brojeva.
Zapišite ga u standardnom obliku [inlmath]z=x+yi[/inlmath]

ovo me zbunjuje jer nikad nismo rješavali slučaj kad je realni broj u razlomku s imaginarnim dijelom i kako ih odvojit?




Odredite apsolutnu vrijednost broja [dispmath]z=2\cos\frac{2\pi}{7}+i2\sin\frac{2\pi}{7}[/dispmath]



Odredite [inlmath]y[/inlmath] u rješenju sustava
[dispmath]\begin{cases}
\sqrt{x+y}=3\\
\\
\frac{x}{y}-k=0
\end{cases}[/dispmath]

blake je napisao:ovo je ka lagano, ali svejedno ne dobijem dobar rezultat

A koji rezultat dobiješ?

blake je napisao:Zadan je kompleksni broj [dispmath]z=(a+i)^2+\frac{a}{i}[/dispmath] gdje je [inlmath]a[/inlmath] element skupa realnih brojeva.
Zapišite ga u standardnom obliku [inlmath]z=x+yi[/inlmath]

ovo me zbunjuje jer nikad nismo rješavali slučaj kad je realni broj u razlomku s imaginarnim dijelom i kako ih odvojit?

Ne paziš na času... C c c... Ovde sam ti pisao šta se i kako radi u tom slučaju. Al' evo opet:

Daniel je napisao:Nakon toga izraz će se vrlo lako svesti na
[dispmath]z=\frac{16}{1+i}[/dispmath]
Pa sad to racionalizuješ, tj. svedeš to na izraz s realnim brojem u imeniocu, a to radiš tako što i brojilac i imenilac pomnožiš konjugovano kompleksnim parom broja u imeniocu, to jest:
[dispmath]z=\frac{16}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}[/dispmath]

U ovom slučaju, pošto imaš samo imaginarni deo, možeš ga množiti njegovim konjugovano kompleksnim parom, tj. [inlmath]-i[/inlmath], a možeš ga množiti i s [inlmath]i[/inlmath], svejedno, je, u oba slučaja dobićeš u imeniocu realan broj.
U brojiocu ćeš dobiti imaginarni broj, koji zatim grupišeš s ostalim imaginarnim sabircima, nakon čega treba da dobiješ rezultat [inlmath]a^2-1+ia[/inlmath]

A u zadatku

blake je napisao:Odredite apsolutnu vrijednost broja [dispmath]z=2\cos\frac{2\pi}{7}+i2\sin\frac{2\pi}{7}[/dispmath]

setimo se da trigonometrijski oblik kompleksnog broja izgleda ovako:
[inlmath]z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)[/inlmath]
gde [inlmath]r[/inlmath] predstavlja moduo, a [inlmath]\varphi[/inlmath] predstavlja argument (iliti fazu) kompleksnog broja.
Prilično je očigledno koliko je [inlmath]r[/inlmath] u našem slučaju.

A možeš i na drugi (mada, nepotrebno komplikovaniji) način:
Ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], respektivno, realni i imaginarni deo kompleksnog broja [inlmath]z[/inlmath], tj.
[inlmath]z=a+ib[/inlmath]
tada je moduo tog kompleksnog broja po definiciji jednak
[inlmath]\left|z\right|\mathop=\limits^\mathrm{def}\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath]
a ovde ti je
[inlmath]a=2\cos\frac{2\pi}{7},\quad b=2\sin\frac{2\pi}{7}[/inlmath]
pa kad sabereš njihove kvadrate, primeniš jednakost [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath] i zatim korenuješ, dobiješ isti rezultat kao i na onaj lakši način.

blake je napisao:Odredite [inlmath]y[/inlmath] u rješenju sustava
[dispmath]\begin{cases}
\sqrt{x+y}=3\\
\\
\frac{x}{y}-k=0
\end{cases}[/dispmath]

Drugu jednačinu rešiš po [inlmath]x[/inlmath], tj. izraziš [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath], a kad si to uradio, onda to što si dobio turiš u prvu jednačinu umesto promenljive [inlmath]x[/inlmath] i dobiješ [inlmath]\sqrt{ky+y}=3[/inlmath], što zatim rešiš po [inlmath]y[/inlmath]...

Mhm
Ko će riješit?
29.5 Za koje vrijednosti realnoga parametra [inlmath]a[/inlmath] je rešenje [inlmath]x[/inlmath] jednadžbe: [inlmath]2x(a+3)+a(x-5)=3ax-6[/inlmath] veće od [inlmath]2[/inlmath]?

[dispmath]2x(a+3)+a(x-5)=3ax-6[/dispmath]
[dispmath]\cancel{3ax}+6x-5a=\cancel{3ax}-6[/dispmath]
[dispmath]6x=5a-6[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{5a}{6}-1[/dispmath]
[dispmath]x>2\quad\Rightarrow\quad\frac{5a}{6}-1>2[/dispmath]
[dispmath]\frac{5a}{6}>3[/dispmath]
[dispmath]5a>18[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{a>3\frac{3}{5}}[/dispmath]