Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
10. zadatak

Imam problem sa ovim zadatkom, a on glasi:
Najmanji pozitivan realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji je prava [inlmath]x=a[/inlmath] osa simetrije grafika funkcije [inlmath]y=\sin\left(2x-\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath] je?
Rešenje je [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath].
Nemam ideju kako bih uopšte počela da radim zadatak, ako neko može da pomogne ja bih bila zahvalna.

Pozdrav uz dobrodošlicu.

Najčešći i najpoznatiji slučaj kada je neka prava oblika [inlmath]x=\text{const}[/inlmath] osa simetrije neke funkcije imamo kod parnih funkcija kada je prava [inlmath]x=0[/inlmath] osa simetrije. Šta u tom slučaju znamo o toj funkciji? Znamo da je:
[dispmath]f(x)=f(-x)[/dispmath] Zapišimo to u malo drugačijem obliku:
[dispmath]f(0+x)=f(0-x)[/dispmath] Ako sada hoćemo da posmatramo simetriju u odnosu na pravu [inlmath]x=a[/inlmath] umesto na [inlmath]x=0[/inlmath], to možemo da zapišemo kao:
[dispmath]f(a+x)=f(a-x)[/dispmath] Pokušaj da primeniš ovo na ovaj konkretan slučaj.

Hvala na odgovoru!
Mislim da sam shvatila ideju po kojoj se rešava zadatak, ali kada počnem da računam ne uspevam da dobijem tačno rešenje.
Evo i mog postupka:
kad primenim [inlmath]f(a+x)=f(a-x)[/inlmath], dobijam:
[dispmath]\sin\left(2(a+x)-\frac{4\pi}{3}\right)=\sin\left(2(a-x)-\frac{4\pi}{3}\right)\\
\sin\left(2(a+x)-\frac{4\pi}{3}\right)-\sin\left(2(a-x)-\frac{4\pi}{3}\right)=0[/dispmath] i kad primenim formulu za prelazak iz razlike u proizvod, dobijam:
[dispmath]\sin2x\cdot\cos\left(2a-\frac{4\pi}{3}\right)=0[/dispmath] i iz toga da mi je [inlmath]a=\frac{11\pi}{12}[/inlmath], a to nije rešenje. Ne znam šta sam pogrešila.

Marijameme je napisao:Najmanji pozitivan realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji je prava [inlmath]x=a[/inlmath] osa simetrije grafika funkcije [inlmath]y=\sin\left(2x+\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath] je?

Da li funkcija glasi [inlmath]y=\sin\left(2x{\color{red}+}\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath] ili [inlmath]y=\sin\left(2x{\color{red}-}\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath]?
Molim da prvo ovo raščistimo.

U pravu ste, funkcija glasi [inlmath]y=\sin\left(2x-\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath], ja sam pogrešila kada sam kucala tekst zadatka, izvinjavam se, nisam primetila.

U redu, uneo sam ispravku u uvodni post. Molim, ako može bez persiranja, hvala.

Marijameme je napisao:[dispmath]\sin2x\cdot\cos\left(2a-\frac{4\pi}{3}\right)=0[/dispmath] i iz toga da mi je [inlmath]a=\frac{11\pi}{12}[/inlmath], a to nije rešenje.

Zaboravila si da dodaš period.
Znači, iz [inlmath]\cos\alpha=0[/inlmath] ne sledi samo [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}[/inlmath], već sledi [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}{\color{red}+k\pi}[/inlmath].

Daniel je napisao:Znači, iz [inlmath]\cos\alpha=0[/inlmath] ne sledi samo [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}[/inlmath], već sledi [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}{\color{red}+k\pi}[/inlmath].

Da, sad kad sam to uzela u obzir nalazim tačno rešnenje, ja sam ga i napisala kad sam rešavala, ali sam ga i eliminisala misleći da će najmanja vrednost biti kada je [inlmath]k=0[/inlmath].
Hvala na odgovoru, Danielu i miletransu, obojica ste mi pomogli.

Možda lakši način bio bi da se uoči, imajući u vidu oblik sinusne funkcije, da će ose simetrije biti sve one „vertikalne“ prave koje prolaze kroz minimume i maksimume sinusne funkcije (tj. kroz tačke u kojima sinusna funkcija ima vrednost [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]:


Na slici su prave koje predstavljaju ose simetrije nacrtane plavom bojom.
Vrednost [inlmath]x[/inlmath]-koordinata minimuma i maksimuma date sinusne funkcije određuje se iz jednačine
[dispmath]\sin\left(2x-\frac{4\pi}{3}\right)=\pm1\\
\Longrightarrow\quad2x-\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
\vdots\\
x=\frac{11\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath] Vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] u jednačini tražene prave [inlmath]x=a[/inlmath] biće jednaka najmanjoj pozitivnoj od svih tih [inlmath]x[/inlmath]-koordinata.