Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
10. zadatak

Treba mi pomoć oko ovog zadačića:

Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0\quad(a,b\in\mathbb{R})[/inlmath] ima rešenja [inlmath]1-\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je:
[inlmath]A)\;-2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;-3;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]

Polinom [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] možemo napisati i kao [inlmath](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/inlmath], gde su [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath] nule tog polinoma. (Ima tri nule, jer je trećeg stepena.) Nama su poznate dve od ukupno tri nule: [inlmath]x_1=1-\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]x_2=1+\sqrt2[/inlmath].
[dispmath]x^3+x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=\left(x-1+\sqrt2\right)\left(x-1-\sqrt2\right)(x-x_3)=\\
=\left[(x-1)^2-\left(\sqrt2\right)^2\right](x-x_3)=\left(x^2-2x-1\right)(x-x_3)=x^3-(x_3+2)x^2+(2x_3-1)+x_3[/dispmath] Kada ovaj oblik izjednačimo s početnim, što znači da izjednačimo koeficijente uz članove istih stepena, dolazimo do sistema od tri jednačine s tri nepoznate:
[dispmath]\begin{array}{l}
-(x_3+2)=1\\
2x_3-1=a\\
x_3=b
\end{array}[/dispmath] Kada taj sistem rešimo, dobijamo da je [inlmath]x_3=-3,\;a=-7[/inlmath] (vrednost [inlmath]a[/inlmath] nam nije potrebna za rešavanje ovog zadatka, al' kad smo već usput došli i do njegove vrednosti, neka ga tu) i [inlmath]b=-3[/inlmath].

Pošto se traži proizvod svih rešenja, [inlmath]x_1x_2x_3[/inlmath], možemo ga direktno odrediti koristeći Vietovu formulu:
[dispmath]x_1x_2x_3=-b\\
\enclose{box}{x_1x_2x_3=3}[/dispmath]
(Do proizvoda rešenja mogli smo, naravno, doći i tako što izmnožimo sva rešenja, tj. [inlmath]\left(1-\sqrt2\right)\left(1+\sqrt2\right)(-3)[/inlmath], pa je to [inlmath](1-2)(-3)=(-1)(-3)=3[/inlmath], ali preko Vietove formule je ipak kraće i jednostavnije.)

Zanimljiv zadatak, ali nikad do sad nisam resavao slican. Verovatno ih dosta retko daju.
Objasnjenje je super i jasan mi je ceo postupak. Hvala!