Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
13. zadatak

Zašto se u ovom zadatku uzima kao rešenje [inlmath]x\in\{-1\}\cup[2,+\infty)[/inlmath]? Ja dobijem [inlmath](-\infty,-1]\cup[2,+\infty)[/inlmath]
[dispmath](x-1)\sqrt{x^2-x-2}\ge0[/dispmath]

Da vidimo... Prvo, da bi nejednačina bila definisana, potkorena veličina mora biti veća ili jednaka od nule:
[dispmath]x^2-x-2\ge0\\
x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\
x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}\\
x_1=-1,\quad x_2=2\\
\underline{x\le-1\quad\lor\quad x\ge2}\quad(1)[/dispmath] Sada rešavamo nejednačinu [inlmath](x-1)\sqrt{x^2-x-2}\ge0[/inlmath]:
[dispmath](x-1)\sqrt{x^2-x-2}\ge0\iff\left[\left(x-1\ge0\;\land\;\underbrace{\sqrt{x^2-x-2}\ge0}_\top\right)\;\lor\;\left(x-1\le0\;\land\;\sqrt{x^2-x-2}\le0\right)\right]\\
(x\ge1\quad\land\quad\top)\quad\lor\quad\left[x\le1\quad\land\quad\left(\sqrt{x^2-x-2}=0\quad\lor\quad\underbrace{\sqrt{x^2-x-2}<0}_\bot\right)\right]\\
x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)\\
x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad x^2-x-2=0\right)[/dispmath] [inlmath]\begin{array}{ll}
x^2-x-2=0\\
x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\
x_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}\\
x_1=-1,\quad x_2=2
\end{array}[/inlmath]
[dispmath]x\ge1\quad\lor\quad[x\le1\quad\land\quad(x=-1\quad\lor\quad x=2)]\\
x\ge1\quad\lor\quad\left[\underbrace{(x\le1\quad\land\quad x=-1)}_{x=-1}\quad\lor\quad\underbrace{(x\le1\quad\land\quad x=2)}_\bot\right]\\
x\ge1\quad\lor\quad x=-1[/dispmath] U preseku s početnim uslovom [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo konačno rešenje:
[dispmath]x=-1\quad\lor\quad x\ge2\\
\enclose{box}{x\in\{-1\}\cup[2,+\infty)}[/dispmath]
Kad ovako dobiješ neko rešenje koje se ne poklapa s onim koje je priloženo, možeš lokalizovati grešku tako što za [inlmath]x[/inlmath] uzmeš neku vrednost koja se uklapa u tvoje (pogrešno) rešenje, a ne uklapa se u rešenje koje stoji u knjizi. Zatim tu vrednost uvrštavaš u razne korake u okviru svog postupka i proveravaš da li je (ne)jednakost u tom koraku zadovoljena. Postepeno „sužavaš obruč“ dok ne otkriješ u kom koraku je tačno greška.
Konkrento, u ovom slučaju, kad bi uzeo da je [inlmath]x=-2[/inlmath], što je vrednost koja se uklapa u tvoje rešenje, ali se ne uklapa u rešenje dato u knjizi, kad bi to uvrstio u početnu nejednačinu, dobio bi
[inlmath](-2-1)\sqrt{(-2)^2-(-2)-2}\ge0\\
(-3)\sqrt{4+\cancel2-\cancel2}\ge0\\
(-3)\cdot2\ge0\\
-6\ge0\quad\bot[/inlmath]
Znači, negde je greška... I sad to ispituješ i za ostale korake dok ne otkriješ grešku...
Ovo ti, naravno, govorim samo za slučaj da ti Matemanija u tom trenutku, iz bilo kog razloga, ne bude dostupna radi pružanja pomoći.

Daniel je napisao:[dispmath](x-1)\sqrt{x^2-x-2}\ge0\iff\left[\left(x-1\ge0\;\land\;\underbrace{\sqrt{x^2-x-2}\ge0}_\top\right)\;\lor\;\left(x-1\le0\;\land\;\sqrt{x^2-x-2}\le0\right)\right]\\
\color{red}{(x\ge1\quad\land\quad\top)\quad\lor\quad\left[x\le1\quad\land\quad\left(\sqrt{x^2-x-2}=0\quad\lor\quad\underbrace{\sqrt{x^2-x-2}<0}_\bot\right)\right]}\\
\color{red}{x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)}\\
\color{red}{x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad x^2-x-2=0\right)}[/dispmath]

Ovaj deo mi nije bas najjasniji, zasto se odvaja nejednacina kod slucaja [inlmath]\le0[/inlmath]
Kod ovog dela: [inlmath](x\ge1\;\land\;\top)[/inlmath] gde nestaje [inlmath]\top[/inlmath] tj kako se slucaj nastavlja ovako
[dispmath]x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)\\
x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad x^2-x-2=0\right)[/dispmath]

maxaa je napisao:zasto se odvaja nejednacina kod slucaja [inlmath]\le0[/inlmath]

U principu i ne mora da se odvoji, ali hteo sam na taj način postupno da pokažem da [inlmath]\sqrt{x^2-x-2}\le0[/inlmath] dođe na isto što i [inlmath]\sqrt{x^2-x-2}=0[/inlmath], budući da ne može biti [inlmath]\sqrt{x^2-x-2}<0[/inlmath].
Ili, rečima iskazano, pošto znamo da koren može dati samo nenegativne vrednosti (tj. ili nulu ili pozitivne vrednosti), tada, ako se kaže za neki koren da mu je vrednost manja ili jednaka od nule, onda to znači da je sigurno jednak nuli, pošto manji od nule ne može biti.

E sad, iskaz [inlmath]\sqrt{x^2-x-2}\ge0[/inlmath] tačan je za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj koren definisan, pa sam zato taj iskaz zamenio sa [inlmath]\top[/inlmath]. Analogno tome, iskaz [inlmath]\sqrt{x^2-x-2}<0[/inlmath] nije tačan ni za jedno [inlmath]x[/inlmath], pa sam zato taj iskaz obeležio sa [inlmath]\bot[/inlmath].

maxaa je napisao:Kod ovog dela: [inlmath](x\ge1\;\land\;\top)[/inlmath] gde nestaje [inlmath]\top[/inlmath] tj kako se slucaj nastavlja ovako
[dispmath]x\ge1\quad\lor\quad\left(x\le1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)[/dispmath]

Malo teorije iz tautologija: kod konjunkcije važi da [inlmath]p\land\top[/inlmath] daje [inlmath]p[/inlmath], kao što i kod disjunkcije važi da [inlmath]p\lor\bot[/inlmath] daje takođe [inlmath]p[/inlmath], gde [inlmath]p[/inlmath] predstavlja neki logički iskaz (tvrdnju).
To je i logično, budući da [inlmath]\top\land\top[/inlmath] daje [inlmath]\top[/inlmath], a [inlmath]\bot\land\top[/inlmath] daje [inlmath]\bot[/inlmath]. Znači, neki iskaz u konjunkciji sa [inlmath]\top[/inlmath] daje isti taj iskaz. Slično tome, [inlmath]\top\lor\bot[/inlmath] daje [inlmath]\top[/inlmath], a [inlmath]\bot\lor\bot[/inlmath] daje [inlmath]\bot[/inlmath]. Znači, neki iskaz u disjunkciji sa [inlmath]\bot[/inlmath] daje isti taj iskaz.

Zbog toga sam umesto
[dispmath]x\ge1\quad\land\quad\top[/dispmath] napisao samo
[dispmath]x\ge1[/dispmath] isto kao što sam i umesto
[dispmath]\sqrt{x^2-x-2}=0\quad\lor\quad\bot[/dispmath] napisao samo
[dispmath]\sqrt{x^2-x-2}=0[/dispmath]