Prijemni ispit FON – 8. jul 2014.
11. zadatak

Buni me 11 zadatak, došao sam do rešenja gde mi je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath], pa bi mi u prvom slučaju [inlmath]x[/inlmath] bilo jednako [inlmath]k\pi[/inlmath], a u drugom [inlmath]\frac{3\pi}{2}\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath]

Međutim, nije dat interval nigde, pa me buni dokle treba da idem.

Zadatak glasi: Zbir najvećeg negativnog i najmanjeg pozitivnog rešenja jednačine [inlmath]\cos^4x-\sin^4x=1+\sin x[/inlmath] je:
Rešenje: [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath]

Hvala vam unapred!!

U takvim zadacima se nikad ne daje interval. Potrebno je da menjaš vrednosti za [inlmath]k[/inlmath]. Npr uzmimo [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]
Prvo kreneš od pozitivnih vrednosti i tu je dovoljno da ubaciš [inlmath]k=0[/inlmath] i tu imamo vrednost [inlmath]\frac{7\pi}{6}[/inlmath]. Izuzetak bi bilo rešenje [inlmath]x=k\pi[/inlmath] gde nije dovoljno ubaciti vrednost [inlmath]k=0[/inlmath] jer [inlmath]0[/inlmath] je neutralan broj, tj. nije ni pozitivan ni negativan (neka me neko ispravi ako grešim), već je potrebno ubaciti i [inlmath]k=1[/inlmath] (inače u svim ostalim slučajevima dovoljno je ubaciti vrednosti [inlmath]k=0[/inlmath] za pozitivno i [inlmath]k=-1[/inlmath] za negativno rešenje).
Pa onda kreneš od negativnih vrednosti, ubaciš [inlmath]k=-1[/inlmath] i vidiš koje ćeš rezultate dobiti. Tako uradiš i za ostale vrednosti i vidiš koje je najmanje/najveće rešenje.

Da, ali zar ne može da se nastavi u beskonačnost? Ja uvek mogu da povećam ili smanjim [inlmath]k[/inlmath], time ću dobijati veće i manje vrednosti

Tačno je da ćeš dobiti beskonačno mnogo rešenja od kojih će neka biti pozitivna, a neka negativna. Ali, samo jedno od tih rešenja će biti najmanje pozitivno. Razmisli, šta će se desiti ako dobiješ da je (recimo) [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]? Ima li smisla da povećavamo [inlmath]k[/inlmath] ako tražimo najmanje pozitivno rešenje? Isti princip važi i za negativna rešenja.

Možeš ti i da ubacuješ i [inlmath]k=1000[/inlmath], ali time gubiš dragoceno vreme
Dovoljno je da se ubaci jedna [inlmath]k[/inlmath] vrednost (osim izuzetka koji sam napomenuo), jer što veće [inlmath]k[/inlmath] vrednosti ubacuješ za pozitivna rešenja, dobijaju se, jelte, i veći brojevi, a tebi se traži najmanje pozitivno, a to je upravo za vrednost [inlmath]k=0,1[/inlmath] Kontra ide za negativna rešenja - što veće [inlmath]k[/inlmath] vrednosti ubacuješ dobijaš sve manja rešenja.
U slučaju najvećeg negativnog nema smisla ići u beskonačnost sa vrednostima, jer što veće negativne vrednosti po [inlmath]k[/inlmath] ubacuješ, to dobijaš manja negativna rešenja, a tebi se traži najveće negativno i zbog toga je dovoljno i potrebno ubaciti samo vrednost [inlmath]k=-1[/inlmath].
P.S. Izvinjavam se miletransu, ne videh da je okačio post pre mene, pisao sam malo duže tekst

Razumeo. Hvala mnogo!

Majki je napisao:pa bi mi u prvom slučaju [inlmath]x[/inlmath] bilo jednako [inlmath]k\pi[/inlmath], a u drugom [inlmath]\frac{3\pi}{2}\pm\frac{\pi}{\color{red}4}+2k\pi[/inlmath]

Ovde imaš greščicu, umesto crvene četvorke treba trojka.

Hajde da vidimo to s najvećim negativnim i najmanjim pozitivnim brojem na primeru jednog rastućeg niza:
[dispmath]-534,-106,-87,-29,49,194,341[/dispmath] U tom nizu najveći negativni član biće [inlmath]-29[/inlmath], (od svih negativnih brojeva taj je najveći), a najmanji pozitivni član biće [inlmath]49[/inlmath] (od svih pozitivnih članova taj je najmanji).

Za ovaj zadatak mislim da bi najlakši način bio, nakon što se nađu rešenja jednačine, lepo ih sve ucrtati na trigonometrijsku kružnicu. I onda najveću negativnu vrednost tražimo tako što na kružnici krenemo od vrednosti [inlmath]0[/inlmath] u smeru kazaljke sata, i prvo ucrtano rešenje na koje „naletimo“ – to je najveće negativno rešenje.
Analogno nalazimo najmanje pozitivno rešenje, samo što tada na kružnici krećemo od vrednosti [inlmath]0[/inlmath] u smeru suprotnom kazaljci sata.