Naci jednacinu kruznice koja prolazi kroz tacku [inlmath]A(-3,-2)[/inlmath] i dodiruje [inlmath]x[/inlmath] osu u tacki [inlmath]B(3,0)[/inlmath]
Ja sam ovaj zadatak pokusala nesto kao da uradim, ali nemam ponudjena resenja uopste pa ne znam da li je dobro

Jednačina kružnice:[dispmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/dispmath]Pošto kružnica dodiruje [inlmath]x[/inlmath]-osu u tački [inlmath]B\left(3,0\right)[/inlmath], odatle sledi da će [inlmath]x[/inlmath]-koordinata centra kružnice biti jednaka [inlmath]x[/inlmath]-koordinati tačke [inlmath]B[/inlmath] (nacrtaj ili zamisli sliku). Znači, [inlmath]p=3[/inlmath]:[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/dispmath]Sada u tu jednačinu uvrstimo koordinate tačke [inlmath]B\left(3,0\right)[/inlmath]:[dispmath]\cancel{\left(3-3\right)^2}+\left(0-q\right)^2=r^2[/dispmath][dispmath]q^2=r^2[/dispmath]pa jednačina kružnice postaje[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(y-q\right)^2=q^2[/dispmath]Sada u tu jednačinu uvrstimo koordinate tačke [inlmath]A\left(-3,-2\right)[/inlmath]:[dispmath]\left(-3-3\right)^2+\left(-2-q\right)^2=q^2[/dispmath][dispmath]36+4+4q+\cancel{q^2}=\cancel{q^2}[/dispmath][dispmath]q=-10[/dispmath]Jednačina tražene kružnice je:[dispmath]\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y+10\right)^2=10^2}[/dispmath]

Hvala

Napisati jednacinu kruznice koja dodiruje [inlmath]y[/inlmath] osu u tacki [inlmath]A(0,5)[/inlmath] i dodiruje kruznicu [inlmath]x^2+y^2-24x+2y+109=0[/inlmath].

Kako se radi ovo? Znam da centar ima koordinate [inlmath](p,5)[/inlmath], ali dalje od toga NE

Znaš takođe i da je [inlmath]p^2=r^2[/inlmath], jer kad koordinate tačke [inlmath]A\left(0,5\right)[/inlmath] uvrstiš u jednačinu[dispmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-5\right)^2=r^2[/dispmath]dobiješ[dispmath]\left(0-p\right)^2+\cancelto{0}{\left(5-5\right)^2}=r^2[/dispmath][dispmath]p^2=r^2[/dispmath]tako da je jednačina tražene kružnice[dispmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-5\right)^2=p^2[/dispmath][dispmath]x^2-2px+\cancel{p^2}+y^2-10y+25=\cancel{p^2}[/dispmath][dispmath]x^2-2px+y^2-10y+25=0\quad\left(1\right)[/dispmath]Cilj je da našemo koordinatu centra [inlmath]p[/inlmath] (a samim tim i poluprečnik [inlmath]r[/inlmath]) takvu da se kružnice dodiruju, a dodirivaće se onda kada sistem koji čine njihove dve jednačine ima samo jedan uređen par rešenja [inlmath]\left(x,y\right)[/inlmath] (pri čemu će taj uređeni par predstavljati koordinate te jedne njihove zajedničke tačke.

Sada od jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] oduzmemo jednačinu zadate kružnice:[dispmath]x^2+y^2-24x+2y+109=0[/dispmath]pa dobijamo[dispmath]\left(24-2p\right)x-12y-84=0\quad /:2[/dispmath][dispmath]\left(12-p\right)x-6y-42=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad y=\frac{\left(12-p\right)x-42}{6}[/dispmath]pa to uvrstimo u neku od jednačina ovih dveju kružnica. Recimo, u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:[dispmath]x^2-2px+\left[\frac{\left(12-p\right)x-42}{6}\right]^2-10\cdot\frac{\left(12-p\right)x-42}{6}+25=0\quad /\cdot 36[/dispmath][dispmath]36x^2-72px+\left[\left(12-p\right)x-42\right]^2-60\cdot\left[\left(12-p\right)x-42\right]+900=0[/dispmath][dispmath]36x^2-72px+\left(144-24p+p^2\right)x^2-84\left(12-p\right)x+1764-\left(720-60p\right)x+2520+900=0[/dispmath][dispmath]\left(p^2-24p+180\right)x^2+\left(72p+1728\right)x+5184=0[/dispmath]I sad, da bi ova jednačina imala tačno jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], potrebno je da diskrimanta te jednačine bude jednaka nuli:[dispmath]D=\left(72p-1728\right)^2-4\cdot 5184\left(p^2-24p+180\right)=0\quad /:5184[/dispmath][dispmath]D=\left(p-24\right)^2-4\left(p^2-24p+180\right)=0[/dispmath][dispmath]p^2-48p+576-4p^2+96p-720=0[/dispmath][dispmath]-3p^2+48p-144=0[/dispmath][dispmath]p_{1,2}=\frac{-48\pm\sqrt{48\cdot 48-4\cdot 3\cdot 144}}{-6}=\frac{-24\pm\sqrt{12\cdot 48-3\cdot 144}}{-3}=\frac{-24\pm 12\sqrt{4-3}}{-3}=8\pm 4[/dispmath][dispmath]p_1=4,\quad p_2=12[/dispmath]Dva rešenja:[dispmath]\left(x-4\right)^2+\left(y-5\right)^2=4^2[/dispmath][dispmath]\left(x-12\right)^2+\left(y-5\right)^2=12^2[/dispmath]Ova druga kružnica bi obuhvatala zadatu kružnicu i dodirivala bi je iznutra.

Fino, fino
Hvala