9. zadatak
Pozdrav, hteo sam da pitam u vezi ovog zadatka. Konkretno, da li se može uraditi kako sam ovde ja (s' obzirom da sam, na kraju, dobio tačno rešenje).
Glasi:
Sva realna rešenja jednačine [inlmath]x=1-\sqrt{1-x\sqrt{x^2+16}}[/inlmath] pripadaju skupu:
[inlmath]A)\;(-4,0];\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;(−1,3];\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;(−2,2];\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;(−6,−2];\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[0,4].[/inlmath]
Tačno rešenje je [inlmath]{\color{blue}A)}\;(-4,0][/inlmath].
Postavio sam uslov:
[dispmath]x^2+16\ge0\;(\forall x\in\mathbb{R})[/dispmath] Zatim, uzeo sam proizvoljno [inlmath]x[/inlmath] (u ovom slučaju [inlmath]x=1[/inlmath]):
[dispmath]f(1)\colon1=1-\sqrt{1-1\sqrt{1^2+16}}\\
1=1-\sqrt{1-\sqrt{17}}[/dispmath] Što je jasno da nije tačno. Time sam eliminisao [inlmath]x=1[/inlmath] i odgovore [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] (domene koji sadrže [inlmath]1[/inlmath] u sebi).
Onda sam uzeo [inlmath]x=0[/inlmath]:
[dispmath]f(0)\colon0=1-\sqrt{1-0\sqrt{0^2+16}}\\
0=1-\sqrt1[/dispmath] Što je tačno.
Sva realna rešenja jednačine [inlmath]x=1-\sqrt{1-x\sqrt{x^2+16}}[/inlmath] pripadaju skupu:
[inlmath]A)\;(-4,0];\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;(−1,3];\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;(−2,2];\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;(−6,−2];\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[0,4].[/inlmath]
Tačno rešenje je [inlmath]{\color{blue}A)}\;(-4,0][/inlmath].
Postavio sam uslov:
[dispmath]x^2+16\ge0\;(\forall x\in\mathbb{R})[/dispmath] Zatim, uzeo sam proizvoljno [inlmath]x[/inlmath] (u ovom slučaju [inlmath]x=1[/inlmath]):
[dispmath]f(1)\colon1=1-\sqrt{1-1\sqrt{1^2+16}}\\
1=1-\sqrt{1-\sqrt{17}}[/dispmath] Što je jasno da nije tačno. Time sam eliminisao [inlmath]x=1[/inlmath] i odgovore [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] (domene koji sadrže [inlmath]1[/inlmath] u sebi).
Onda sam uzeo [inlmath]x=0[/inlmath]:
[dispmath]f(0)\colon0=1-\sqrt{1-0\sqrt{0^2+16}}\\
0=1-\sqrt1[/dispmath] Što je tačno.
[dispmath]0=0[/dispmath] Samim tim, [inlmath]x[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath], te uzimamo odgovor:
[inlmath]\color{blue}A)\;(−4,0][/inlmath]
Sasvim sam svestan da sam, možda, negde totalno omašio. Dosad se nisam sretao sa ovakvim tipom zadatka (osim u slučaju La Granžove formule, koja mi je takođe pala na pamet. Ali, ne dobijam ništa blizu rešenja). Nisam imao nikakvu ideju u momentu, pa reko' da proverim ovde. Svaka korekcija i sugestija dobro dolaze. Hvala!
).