Da, treba se rješvat preko tablice i uvrštavat u [inlmath]x[/inlmath], nikako grafički gledat di se preklope jer je to zamka

to rješenje, zajedno s drugim slučajem [inlmath]x\in\left<-\infty,-6\right]\cup\left<-5,-1\right>\cup\left<-1,+\infty\right>[/inlmath]
daje rješenje [inlmath]x\le -6\ \lor\ x\ge -4\quad\setminus \{-1\}[/inlmath]

[dispmath]f(x)=\sqrt[4]{\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)}+\sqrt{\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)}[/dispmath]
[inlmath]\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)\ge 0[/inlmath]

[inlmath]-1\le\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath]
Tu dobijem [inlmath]x^2\ge -10\:\land\:x^2\le 10[/inlmath]

[inlmath]x^2+1>0\;\Rightarrow\;x^2>-1\;\Rightarrow\;(x+1)(x-1)>0\;\Rightarrow\;x>1\;\lor\;x<-1[/inlmath]


[inlmath]\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge 0[/inlmath]
[inlmath]x^3+2x^2+3x+3>0[/inlmath]
I šta sad, pokušam grupirat, nešto, ne znam...

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\sqrt[4]{\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)}+\sqrt{\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)}[/dispmath]
[inlmath]\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge 0[/inlmath]
[inlmath]x^3+2x^2+3x+3>0[/inlmath]
I šta sad, pokušam grupirat, nešto, ne znam...

[inlmath]\ln[/inlmath] ne može tek tako nestati.
Ako znamo da je [inlmath]\ln 1=0[/inlmath] onda imamo
[dispmath]\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge\ln 1[/dispmath]
pa iz toga slijedi
[inlmath]\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge 1[/inlmath] odnosno
[dispmath]x^3+2x^2+3x+2\ge 0[/dispmath]
Taj izraz se rješava dijeljenjem polinoma na način da gledamo slobodni član, tj. [inlmath]2[/inlmath]. Djeljitelji tog broja koje razmatramo su [inlmath]\pm 1[/inlmath] i [inlmath]\pm 2[/inlmath], dakle ukupno četiri. Ako umjesto [inlmath]x[/inlmath]-a uvrstiš jedinicu, dobit ćeš [inlmath]8=0[/inlmath].
Ako se uvrsti [inlmath]-1[/inlmath], dobije se [inlmath]0=0[/inlmath] što znači da taj broj odgovara.
Sada dijelimo
[dispmath]\left(x^3+2x^2+3x+2\right):{\color{red}(x+1)}={\color{blue}x^2+x+2}[/dispmath]
što znači da nejednadžbu [inlmath]x^3+2x^2+3x+2\ge 0[/inlmath] možemo zapisati kao
[dispmath]{\color{red}(x+1)}{\color{blue}\left(x^2+x+2\right)}\ge 0[/dispmath]
Odatle sada nađeš točke (u ovom slučaju ako se ne varam bit će samo jedna, [inlmath]x\ge -1[/inlmath] ) i to presječeš sa drugim točkama koje se dobiju (dio do plusa, [inlmath]|x|\le 3[/inlmath]).
Konačno rješenje trebalo bi biti [dispmath]Df=[-1,3][/dispmath]

eseper je napisao:

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\sqrt[4]{\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)}+\sqrt{\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)}[/dispmath]
[inlmath]\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge 0[/inlmath]
[inlmath]x^3+2x^2+3x+3>0[/inlmath]
I šta sad, pokušam grupirat, nešto, ne znam...

[inlmath]\ln[/inlmath] ne može tek tako nestati.

1. uvjet korijena
2. uvjet logaritma

Dakle, nije to bilo preneseno iz linije povišine, osim toga ako znamo da iz uvjeta za logaritam izraz teba biti strogo veće od [inlmath]0[/inlmath], šta je bitan taj prvi uvjet?

Svejedno, jer kad bi išao grupirati tu nejednadžbu ne bi dobio točno rješenje (umjesto [inlmath]3[/inlmath] mora biti [inlmath]2[/inlmath]), a napisao sam kako do toga doći.

Hvala, eseper, na odgovoru, nećeš mi zameriti ako samo još malo to dopunim, svojim rečima...

blake je napisao:to rješenje, zajedno s drugim slučajem [inlmath]x\in\left<-\infty,-6\right]\cup\left<-5,-1\right>\cup\left<-1,+\infty\right>[/inlmath]
daje rješenje [inlmath]x\le -6\ \lor\ x\ge -4\quad\setminus\{-1\}[/inlmath]

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\sqrt[4]{\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)}+\sqrt{\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)}[/dispmath]
[inlmath]\arcsin\left(\log\left(x^2+1\right)\right)\ge 0[/inlmath]

[inlmath]-1\le\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath]
Tu dobijem [inlmath]x^2\ge -10\:\land\:x^2\le 10[/inlmath]

Iz nejednačine [inlmath]-1\le\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath] bi se dobilo [inlmath]x^2+1\ge 10^{-1}\;\land\;x^2+1\le 10[/inlmath], a ne to što si ti dobio.
Ali, inače, moraš posmatrati i to da, kao potkorena veličina parnog korena (u ovom slučaju [inlmath]4.[/inlmath] korena), vrednost arkus sinusa mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath] (što si, zapravo, i napisao), a to će biti zadovoljeno onda kada argument arkus sinusa [inlmath]\in\left[0,1\right][/inlmath]. Prema tome, nejednačina bi glasila [inlmath]0\le\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath].
Pošto je argument ovog logaritma uvek [inlmath]\ge 1[/inlmath], vrednost logaritma će uvek biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], tako da je taj deo uslova automatski zadovoljen i dalje razmatraš samo uslov da je [inlmath]\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath].

blake je napisao:[inlmath]x^2+1>0\;\Rightarrow\;{\color{red}x^2>-1\;\Rightarrow\;(x+1)(x-1)>0}\;\Rightarrow\;x>1\;\lor\;x<-1[/inlmath]

U crveno obeleženom koraku imaš grešku.
Ali, i inače, ovo zaista nema potrebe rešavati. Prilično je vidljivo da je taj uslov uvek zadovoljen, budući da je uvek [inlmath]x^2+1>0[/inlmath], jer je [inlmath]x^2\ge 0[/inlmath], pa je onda [inlmath]x^2+1\ge 1[/inlmath], tj. zadovoljeno je da je [inlmath]x^2+1>0[/inlmath].

blake je napisao:[inlmath]\ln\left(x^3+2x^2+3x+3\right)\ge 0[/inlmath]
[inlmath]x^3+2x^2+3x+3>0[/inlmath]
I šta sad, pokušam grupirat, nešto, ne znam...

Da, @eseper, nije ovo greška, ovo su dve nejednačine, nezavisne jedna od druge, do kojih se došlo ispitivanjem definisanosti...
Drugu nejednačinu bi zaista bilo vrlo teško rešiti samu za sebe, ali, srećna okolnost ovde je to što, kako je eseper napisao, kad se u prvoj nejednačini oslobodiš logaritma, dobiješ [inlmath]x^3+2x^2+3x+3\ge 1[/inlmath], što je stroži uslov od uslova druge nejednačine, tako da je dovoljno rešiti samo tu prvu nejednačinu (kao što je eseper i uradio) i drugu ne moraš više ni pogledati, ona te ne zanima.

Ma samo ti dopunjavaj
Izvinjavam se, ono sam shvatio kao jedan uvjet koji se rješava, a ne kao dva odvojena. Zbog toga bi ih ubuduće bilo dobro nekako označavati...

Daniel je napisao::?: Iz nejednačine [inlmath]-1\le\log\left(x^2+1\right)\le 1[/inlmath] bi se dobilo [inlmath]x^2+1\ge 10^{-1}\;\land\;x^2+1\le 10[/inlmath], a ne to što si ti dobio.

npr gledajući desnu stranu
[dispmath]\log\left(x^2+1\right)-1\le 0\\
\log\left(x^2+1\right)-\log_{10}10\le 0[/dispmath]
pa dižem sve to u eksponent desetke
[dispmath]10^{\log\left(x^2+1\right)}-10^{\log_{10}10}\le 10^0\\
x^2+1-10\le 1[/dispmath]
Pronađi grešku ˇ_ˇ

blake je napisao:[dispmath]\log\left(x^2+1\right)-\log_{10}10\le 0[/dispmath]
pa dižem sve to u eksponent desetke
[dispmath]10^{\log\left(x^2+1\right)}-10^{\log_{10}10}\le 10^0[/dispmath]

Zar se tako diže u eksponent?
[inlmath]10^{a-b}\ne 10^a-10^b[/inlmath]

Aha znači iz abrakadabra razloga moran jedinicu ostavit di je...
[dispmath]10^{\log\left(x^2+1\right)}\le 10^1\\
(\dots )[/dispmath]
[dispmath]x\in [-3,3][/dispmath]