Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ TRIGONOMETRIJA
Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Miladin Jovic » Nedelja, 05. Januar 2014, 12:51
Evo jos jednog zadatka|: Zbir svih resenja jednacine koren iz 2 * (cos na 3 x-sin na 3 x)*(1+2cos^2(x-45)) = (2+sin2x)^2 koja pripadaju intervalu [-2PI,2PI] je? Hvala
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Milovan » Nedelja, 05. Januar 2014, 13:55
Molim te, pročitaj pravilnik, posebno članove 6,11 i 13.
Odavde nije jasno da li se radi o:
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)}=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+ 2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)}\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
Kako nisam siguran na šta od ovoga se zadatak odnosi, daću uputstva kako se mogu transformisati neki delovi izraza do jednostavnijih...
[dispmath]\cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)\left(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=(\cos x-\sin x)\left(1+\frac{1}{2}\sin 2x\right)[/dispmath]
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2-1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)-1=2+\cos\left(2\cdot\left(x-45^\circ\right)\right)=2+\cos\left(2x-90^\circ\right)=2+\sin 2x[/dispmath]
Odavde nije jasno da li se radi o:
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)}=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+ 2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)}\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
Kako nisam siguran na šta od ovoga se zadatak odnosi, daću uputstva kako se mogu transformisati neki delovi izraza do jednostavnijih...
[dispmath]\cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)\left(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=(\cos x-\sin x)\left(1+\frac{1}{2}\sin 2x\right)[/dispmath]
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2-1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)-1=2+\cos\left(2\cdot\left(x-45^\circ\right)\right)=2+\cos\left(2x-90^\circ\right)=2+\sin 2x[/dispmath]
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Miladin Jovic » Nedelja, 05. Januar 2014, 14:53
Radi se ovoj drugoj jednacini
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
Poslednji put menjao Milovan dana Nedelja, 05. Januar 2014, 15:31, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklonjen nepotreban citat
Razlog: Uklonjen nepotreban citat
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Daniel » Nedelja, 05. Januar 2014, 15:37
Molim te da obratiš pažnju i na članove 9. i 15. Pravilnika.
Milovan ti je napisao na koji način možeš da kreneš sa sređivanjem ove jednačine. Možeš započeti, pa ćemo ti onda pokazati šta i kako dalje, ako bude bilo problema.
Što se tiče izraza [inlmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)[/inlmath], evo još jednog načina za njegovo sređivanje, pa odaberi koji ti je zgodniji:
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=1+2\left(\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+2\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos x+\frac{\sqrt 2}{2}\sin x\right)^2=1+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left(\cos x+\sin x\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+\left(\underbrace{\cos^2 x+\sin^2 x}_1+\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}\right)=1+1+\sin 2x=2+\sin 2x[/dispmath]
Milovan ti je napisao na koji način možeš da kreneš sa sređivanjem ove jednačine. Možeš započeti, pa ćemo ti onda pokazati šta i kako dalje, ako bude bilo problema.
Što se tiče izraza [inlmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)[/inlmath], evo još jednog načina za njegovo sređivanje, pa odaberi koji ti je zgodniji:
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=1+2\left(\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+2\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos x+\frac{\sqrt 2}{2}\sin x\right)^2=1+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left(\cos x+\sin x\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+\left(\underbrace{\cos^2 x+\sin^2 x}_1+\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}\right)=1+1+\sin 2x=2+\sin 2x[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Miladin Jovic » Nedelja, 05. Januar 2014, 17:36
Hvala za ona prethodna resenja. Ali ovaj zadatak stvarno ne razumem.
Odrediti broj resenja jednacine [inlmath]\sin 2x=\sin x[/inlmath] u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[inlmath]2\sin x\cos x-\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\sin x(2\cos-1)=0:[/inlmath] [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=0.5[/inlmath] itd.
Ali ne znam kako da nadjem resenja u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath]
Odrediti broj resenja jednacine [inlmath]\sin 2x=\sin x[/inlmath] u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[inlmath]2\sin x\cos x-\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\sin x(2\cos-1)=0:[/inlmath] [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=0.5[/inlmath] itd.
Ali ne znam kako da nadjem resenja u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath]
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Milovan » Nedelja, 05. Januar 2014, 17:51
Postupak ti je u redu. Ostaje ti samo da izdvojiš ona rešenja za koja važi da je [inlmath]-6<x<6[/inlmath].
Iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi da to važi za sledeće vrednosti [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath].
Iz [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath] dobijamo sledeći skup rešenja: [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath].
Dakle, ukupno ima 7 rešenja na zadatom intervalu.
Iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi da to važi za sledeće vrednosti [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath].
Iz [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath] dobijamo sledeći skup rešenja: [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath].
Dakle, ukupno ima 7 rešenja na zadatom intervalu.
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Miladin Jovic » Nedelja, 05. Januar 2014, 17:54
Da, ali kako znate da postoje 7 resenja? Da li mozete to da pojasnite?
Poslednji put menjao Milovan dana Nedelja, 05. Januar 2014, 17:56, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklonjen nepotreban citat
Razlog: Uklonjen nepotreban citat
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Milovan » Nedelja, 05. Januar 2014, 18:03
Nema potrebe da citiraš poruku iznad svoje, pogotovo ne celu, bar ako ne želiš da izdvojiš određeni deo. Baš na taj član ti je Daniel skrenuo pažnju.
Ja sam ti pored toga koliko ih ima naveo i koja su.
Dakle, za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\sin x = 0[/inlmath]? Za [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath]. To su tri mogućnosti.
Zatim, pitaš sa za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath]... To su vrednosti [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath]. Njih ima [inlmath]4[/inlmath].
Ta [inlmath]4[/inlmath] plus prethodna [inlmath]3[/inlmath] čine pomenutih [inlmath]7[/inlmath] rešenja. Zapisana jedinstvenim skupom, to su:
[dispmath]x\in\left\{0,\pm\frac{\pi}{3},\pm\pi,\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/dispmath]
Ja sam ti pored toga koliko ih ima naveo i koja su.
Dakle, za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\sin x = 0[/inlmath]? Za [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath]. To su tri mogućnosti.
Zatim, pitaš sa za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath]... To su vrednosti [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath]. Njih ima [inlmath]4[/inlmath].
Ta [inlmath]4[/inlmath] plus prethodna [inlmath]3[/inlmath] čine pomenutih [inlmath]7[/inlmath] rešenja. Zapisana jedinstvenim skupom, to su:
[dispmath]x\in\left\{0,\pm\frac{\pi}{3},\pm\pi,\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/dispmath]
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Miladin Jovic » Nedelja, 05. Januar 2014, 18:26
Hvala, ali mene ju zbunjivao interval [inlmath](-6,6)[/inlmath] tj. mislio sam da treba da nadjem uglove koji njemu pripadaju. Zasto su ga onda i stavili u postavku zadatka. I izvinite sto krsim pravila, ovde sam nov, polako dok izucim zakone 
Re: Zbir rešenja trigonometrijske jednačine
od Milovan » Nedelja, 05. Januar 2014, 18:30
Pazi, sama trigonometrijska jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Recimo, [inlmath]\sin x=0[/inlmath] je zadovoljena za sve vrednosti [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Interval daje ograničenje: [inlmath]-6<k\pi<6[/inlmath]. Ovo važi samo ako je [inlmath]k[/inlmath] iz skupa [inlmath]k=\{-1,0,1\}[/inlmath] Za [inlmath]2[/inlmath] i veće vrednosti [inlmath]k[/inlmath], kao i za [inlmath]-2[/inlmath] i manje, nejednakost koju sam naveo nije zadovoljena.
Analogno radiš i sa jednačinom [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Samo što ćeš dobiti [inlmath]4[/inlmath] "dopuštene" vrednosti za [inlmath]k[/inlmath].
Analogno radiš i sa jednačinom [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Samo što ćeš dobiti [inlmath]4[/inlmath] "dopuštene" vrednosti za [inlmath]k[/inlmath].
14 Posta
• Stranica 1 od 2 • 1, 2
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju