eseper je napisao:Brojnik mi je jasan. U nazivniku, ova nula koja predstavlja donju granicu, to je uvijek tako ili?

Naravno da nije uvek tako. Ovde je donja granica bila nula zato što je interval u kojem funkcija gustine ima vrednost različitu (veću) od nule interval [inlmath]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], tj. interval kojem je donja granica nula.

eseper je napisao:Kada izračunam ta dva integrala i podijelim rezultate, ispalo mi je [inlmath]\sqrt{2}-1[/inlmath].

Da, dobije se [inlmath]\sqrt 2-1[/inlmath], što mu dođe nekih [inlmath]\approx 41\%[/inlmath]. Kad pogledaš plavu površinu sa druge slike, vidiš da njen odnos prema žutoj površini sa prve slike i iznosi otprilike tu negde.

Aha, sada mi je jasno

Još jedan:
Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
c\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, & \mbox{za }0\le x<1\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P\left(X<\frac{1}{2}\:\left|\:X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right.\right)[/inlmath]

Pod a) dobijem [inlmath]c=\frac{2}{\pi}[/inlmath].
Pod b) nastaje problem, jer kada integral idem riješiti pomoću zamjene varijabli, dogodi se da mi donja granica [inlmath]0[/inlmath] postane [inlmath]1[/inlmath], a gornja [inlmath]1[/inlmath] postane [inlmath]0[/inlmath]. Što ne može biti

Može biti, može. Nije to nikakva greška. Donja granica postane [inlmath]1[/inlmath] a gornja postane [inlmath]0[/inlmath], ali se istovremeno unutar integrala „stvori“ jedan minus, a znaš da je [inlmath]\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx=-\int\limits_b^a f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], tako da to dođe na isto...

S obzirom da sam određene integrale naučio samo kroz ovaj zadatak, to pravilo nisam znao. Odlično, ako mi se dogodi tako nešto na ispitu, znat ću
znači
a) [inlmath]c=\frac{2}{\pi}[/inlmath]
b) [inlmath]E(X)=-\frac{2}{\pi}[/inlmath]
c) [inlmath]P\left(X<\frac{1}{2}\:\left|\:X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right.\right)=\frac{P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}<X<\frac{1}{2}\right)}{P\left(X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/inlmath]

a)

b) Uvek proveri da li je dobijeni rezultat logičan s obzirom na podatke koji su zadati. U ovom zadatku je zadato da je funkcija gustoće različita (veća) od nule jedino u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath], a svuda van tog intervala je jednaka nuli. Može li, onda, slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] imati vrednosti manje od [inlmath]0[/inlmath] ili veće od [inlmath]1[/inlmath]? Ne može, naravno, jer nam funkcija gustoće kaže da je verovatnoća da je [inlmath]X<0[/inlmath] ili da je [inlmath]X\ge 1[/inlmath] jednaka nuli, tj. [inlmath]X[/inlmath] ne može imati te vrednosti, već može imati jedino vrednosti koje su u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath].
Može li, onda, [inlmath]E\left(X\right)[/inlmath], kao nekakva očekivana, tj. srednja vrednost slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath], biti u ovom slučaju negativna? Ne može, mora biti u onom intervalu u kojem [inlmath]X[/inlmath] može imati vrednosti, a to je ovde interval [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath].

c) Čim dobiješ da je verovatnoća negativna, to ti je odmah signal da se negde desio , budući da verovatnoća, po definiciji (znači, ne samo u ovom zadatku, nego i inače), može imati samo vrednosti u intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath].
Hint – Za određivanje ove verovatnoće pod c) čak ti nikakvo računanje nije ni potrebno, budući da je vrlo očigledno.

b) u ponovnom rješavanju dobijem [inlmath]E(X)=1[/inlmath], ali ni to ne upada u interval koji si naveo
c) rješavao sam dva integrala, iz brojnika [inlmath]\int\limits_\frac{\sqrt{2}}{2}^\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x[/inlmath] i tu sam dobio [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath].
za integral u nazivniku [inlmath]\int\limits_\frac{\sqrt{2}}{2}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x[/inlmath] također dobijem isti rezultat. gdje griješim?

b) U prvom pokušaju dobio si rešenje koje je po apsolutnoj vrednosti jednako tačnom rešenju (tačno rešenje iznosi [inlmath]E\left(X\right)=\frac{2}{\pi}[/inlmath]), tako da pretpostavljam da si nešto zbrljao oko donje i gornje granice integraljenja – proveri da ih nisi zamenio i da li si ispravno iskoristio svojstvo [inlmath]\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx=-\int\limits_b^a f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath]. Možda, da nam pokažeš svoj postupak?

c) Greška ti je u tome što si prevideo da je [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}>\frac{1}{2}[/inlmath], te, samim tim, nejednakost [inlmath]\frac{\sqrt{2}}{2}<X<\frac{1}{2}[/inlmath] nema smisla. Kod nejednakosti oblika [inlmath]a<x<b[/inlmath] podrazumeva se da mora biti [inlmath]a<b[/inlmath]...

Tako je, pod b) sam sada dobio [inlmath]\frac{2}{\pi}[/inlmath]. Prvi put sam falio predznak, a drugi put izostavio [inlmath]x[/inlmath] iz formule. Bitno da je to sada ispalo

c) ovdje sam samo primjenio formulu [inlmath]P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}[/inlmath] i zamijenio je vrijednostima iz ovog zadatka...

c) Da, a koliko ti je tu [inlmath]P\left(A\cap B\right)[/inlmath], ako je [inlmath]A:X>\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath], a [inlmath]B:X<\frac{1}{2}[/inlmath]?

Ok, obzirom kakve večeras gluposti radim, vrijeme je da idem u krpe