Kako se izvode formule za sumu aritmetičkog i geometrijskog niza?

Suma aritmetićkog niza:
[dispmath]\begin{array}{l}
S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\\
S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_3+a_2+a_1\\ \hline
\end{array}[/dispmath][dispmath]2S_n=\left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+\left(a_3+a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_{n-2}+a_3\right)+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)[/dispmath][dispmath]2S_n=\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+\cancel d+a_n-\cancel d\right)+\\
+\left(a_1+\cancel{2d}+a_n-\cancel{2d}\right)+\cdots+\left[a_1+\cancel{\left(n-3\right)d}+a_n-\cancel{\left(n-3\right)d}\right]+\\
+\left[a_1+\cancel{\left(n-2\right)d}+a_n-\cancel{\left(n-2\right)d}\right]+\left[a_1+\cancel{\left(n-1\right)d}+a_n-\cancel{\left(n-1\right)d}\right][/dispmath][dispmath]2S_n=\underbrace{\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+a_n\right)+\cdots+\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+a_n\right)}_{n\:\mathrm{sabiraka}}[/dispmath][dispmath]2S_n=n\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)}[/dispmath]

---

Suma geometrijskog niza:
[dispmath]S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n[/dispmath][dispmath]\begin{array}{l}
S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1}\\
S_n\cdot q=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^{n-1}+a_1q^n\\ \hline
\end{array}[/dispmath][dispmath]S_n-S_n\cdot q=a_1+\cancel{a_1q}-\cancel{a_1q}+\cancel{a_1q^2}-\cancel{a_1q^2}+\cdots+\cancel{a_1q^{n-1}}-\cancel{a_1q^{n-1}}-a_1q^n[/dispmath][dispmath]S_n\left(1-q\right)=a_1\left(1-q^n\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}}[/dispmath]

Hvala ti, Daniele.

Postupak mi deluje jednostavan, mada mi nije jasna logika. Na osnovu čega zaključujemo da bismo mogli da saberemo iste jednačine u cilju dobijanja željene formule (kod aritmetičkog niza) i na osnovu čega zaključujemo da bismo mogli da pomnožimo celu jednačinu sa [inlmath]q[/inlmath] (kod geometrijskog niza)?

To ti je sad čista intuicija.

Kod aritmetičkog niza znamo za pravilo da je zbir prvog i poslednjeg člana jednak zbiru drugog i pretposlednjeg, a to je, opet, jednako zbiru trećeg i pretpretposlednjeg... Pa je nekako logično da ih tako i grupišemo – prvi s poslednjim, drugi s pretposlednjim... Ima ona anegdota o Gaussu kako je, još kao dete, fascinirao svog učitelja načinom na koji je sabrao sve brojeve od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]100[/inlmath]. Način na koji je on radio može se primeniti na bilo koji aritmetički niz s parnim brojem članova. Kod arimetičkog niza s neparnim brojem članova bio bi sličan postupak, samo što bi, tada, onaj srednji član niza, siromašak, ostao nesparen ni s jednim drugim članom. Ipak, ovaj postupak u kojem se sabiraju dve sume, pri čemu je druga napisana od poslednjeg ka prvom elementu niza, elegantno obuhvata oba slučaja – i paran i neparan broj članova aritmetičkog niza.

Kod geometrijskog niza vidimo da u svakom sabirku figuriše [inlmath]a_1[/inlmath], a da je svaki naredni sabirak [inlmath]q[/inlmath] puta veći od prethodnog. To nekako nameće ideju da, ako sumu pomnožimo sa [inlmath]q[/inlmath], dobićemo novi niz sabiraka od kojih su skoro svi isti kao i u prethodnom nizu sabiraka, s tom razlikom što prvi sabirak iz prethodnog niza ovde nedostaje, a pojavljuje se, kao poslednji, sabirak kojeg nije bilo u prethodnom nizu, a to je [inlmath]a_1q^n[/inlmath]. Dušu dalo da jednu sumu oduzmemo od druge i to sve poskraćujemo...