(Nadam se da ce neko biti raspolozen da pogelda ovaj zadatak...)
Koliko rjesenja ima jednacina [inlmath]x^4+(m-5)x^2-(6m+5)[/inlmath] u intervalu [inlmath](-2,1)[/inlmath] ?

Ima "ideju" zadatka, medjutim ono sto ja dobijem kao rjesenje, nije ni pribliznom onom sto pise u knjizi da je rjesenje... :/

Pozdrav, nemoj biti tako škrta s podacima. Opiši nam tu svoju ideju. Koje rešenje ti dobiješ? Koje rešenje piše u knjizi?
Teško da [inlmath]x^4+\left(m-5\right)x^2-\left(6m+5\right)[/inlmath] može da bude jednačina. Jednačina mora da sadrži znak jednakosti, a ovde se znak jednakosti nigde ne pojavljuje. Pretpostavljam da ta jednačina treba da glasi [inlmath]x^4+\left(m-5\right)x^2-\left(6m+5\right)=0[/inlmath], ali onda je treba tako i napisati.
Molim te da pročitaš Pravilnik foruma.

Tema premeštena na adekvatno mesto – u rubriku „Algebra“.

Pošto, nažalost, autorke posta nema da nam izloži svoju ideju, a zadatak se doima prilično interesantnim, izložiću ja svoju. Pošto se jednačina, pod pretpostavkom da glasi [inlmath]x^4+\left(m-5\right)x^2-\left(6m+5\right)=0[/inlmath], može zapisati u obliku kvadratne jednačine po [inlmath]x^2[/inlmath],
[dispmath]\left(x^2\right)^2+\left(m-5\right)x^2-\left(6m+5\right)=0[/dispmath]
vidimo da svako rešenje po [inlmath]x[/inlmath], izuzev [inlmath]x=0[/inlmath], ima svog „parnjaka“, jednakog po apsolutnoj vrednosti, a suprotnog predznaka. Takođe zaključujemo, posmatrajući zadati interval [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]:

– da bi bilo [inlmath]x=0[/inlmath] treba da bude [inlmath]x^2=0[/inlmath];
– da bi bilo [inlmath]x\in\left(-1,1\right)\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] treba da bude [inlmath]x^2\in\left(0,1\right)[/inlmath];
– da bi bilo [inlmath]x\in\left(-2,-1\right]\cup\left[1,2\right)[/inlmath] treba da bude [inlmath]x^2\in\left[1,4\right)[/inlmath].

I onda diskutujemo jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath], u zavisnosti od parametra [inlmath]m[/inlmath].
[dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{-\left(m-5\right)\pm\sqrt{\left(m-5\right)^2+4\left(6m+5\right)}}{2}[/dispmath]
[dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{5-m\pm\sqrt{m^2+14m+45}}{2}[/dispmath]
[dispmath]\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{5-m\pm\sqrt{\left(m+9\right)\left(m+5\right)}}{2}[/dispmath]
Prvo, da bi jednačina imala rešenja, potkorena veličina ne sme da bude negativna i to: ako je potkorena veličina jednaka nuli, jednačina ima jedno rešenje po [inlmath]x^2[/inlmath] (tj. dva rešenja po [inlmath]x[/inlmath], međusobno suprotnog znaka a iste apsolutne vrednosti), a ako je potkorena veličina veća od nule, jednačina ima dva rešenja po [inlmath]x^2[/inlmath].

[inlmath]I\;D=0[/inlmath]
[inlmath]\underline{m=-9\;\lor\;m=-5}[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad x^2=7\quad\lor\quad x^2=5[/dispmath]
Nijedno od tih rešenja po [inlmath]x^2[/inlmath] ne pripada intervalu [inlmath]\left(0,4\right)[/inlmath], tako da za ove vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] jednačina nema nijedno rešenje unutar [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath].

[inlmath]II\;D>0[/inlmath]
[inlmath]\underline{m<-9\;\lor\;m>-5}[/inlmath]
Pošto [inlmath]x^2[/inlmath] ne može biti negativno, manje rešenje će biti [inlmath]\left(x^2\right)_1=\frac{5-m-\sqrt{m^2+14m+45}}{2}[/inlmath], a veće će biti [inlmath]\left(x^2\right)_2=\frac{5-m+\sqrt{m^2+14m+45}}{2}[/inlmath].
Imamo [inlmath]9[/inlmath] mogućih slučajeva:

[inlmath]\left(x^2\right)_1=0,\;\left(x^2\right)_2\in\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]3[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1=0,\;\left(x^2\right)_2\in\left[1,4\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]2[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1=0,\;\left(x^2\right)_2\in\left[4,+\infty\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]1[/inlmath] rešenje po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1,\left(x^2\right)_2\in\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]4[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left(0,1\right),\;\left(x^2\right)_2\in\left[1,4\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]3[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left(0,1\right),\;\left(x^2\right)_2\in\left[4,+\infty\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]2[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1,\left(x^2\right)_2\in\left[1,4\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]2[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left[1,4\right),\;\left(x^2\right)_2\in\left[4,+\infty\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]1[/inlmath] rešenje po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1,\left(x^2\right)_2\in\left[4,+\infty\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina nema rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]

Ispitujemo slučaj [inlmath]\left(x^2\right)_2\in\left[4,+\infty\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{5-m+\sqrt{m^2+14m+45}}{2}\ge 4[/dispmath]
[dispmath]m+3\le\sqrt{m^2+14m+45}[/dispmath]
Skup rešenja koji je uvek zadovoljen: [inlmath]m+3\le 0[/inlmath], tj. [inlmath]\underline{m\le -3}[/inlmath]
[dispmath]\cancel{m^2}+6m+9\le\cancel{m^2}+14m+45[/dispmath]
[dispmath]m\ge -\frac{9}{2}[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]m\le -3\;\lor\;m\ge -\frac{9}{2}[/inlmath], što je, za svako [inlmath]m[/inlmath] iz uslova [inlmath]II[/inlmath] slučaja, a koji glasi [inlmath]m<-9\;\lor\;m>-5[/inlmath], uvek zadovoljeno. Dakle, za [inlmath]\left(x^2\right)_2[/inlmath] smo konstatovali da pripada intervalu [inlmath]\left[4,+\infty\right)[/inlmath] za svaku vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] koja zadovoljava uslov [inlmath]II[/inlmath] slučaja, što prilično smanjuje broj mogućih slučajeva:

[inlmath]\left(x^2\right)_1=0\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]1[/inlmath] rešenje po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]2[/inlmath] rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left[1,4\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina ima [inlmath]1[/inlmath] rešenje po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(x^2\right)_1\in\left[4,+\infty\right)\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] jednačina nema rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-2,1\right)[/inlmath]

Slučaj [inlmath]\left(x^2\right)_1=0[/inlmath] se lako rešava, uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] u polaznu jednačinu, [inlmath]x^4+\left(m-5\right)x^2-\left(6m+5\right)=0[/inlmath], iz čega se dobije [inlmath]m=-\frac{5}{6}[/inlmath]. Preostali slučajevi se rešavaju uvrštavanjem izraza [inlmath]\left(x^2\right)_1=\frac{5-m-\sqrt{m^2+14m+45}}{2}[/inlmath] u svaki od tih uslova i rešavanjem nejednačina po [inlmath]m[/inlmath]. Treba da se dobiju rešenja:
[dispmath]\begin{cases}
m\in\left(-\infty,-\frac{9}{2}\right], & \mbox{nema rešenja}\\
\\
m\in\left(-\frac{9}{2},-\frac{9}{5}\right]\cup\left\{-\frac{5}{6}\right\}, & \mbox{ima 1 rešenje}\\
\\
m\in\left(-\frac{9}{5},+\infty\right]\setminus\left\{-\frac{5}{6}\right\}, & \mbox{ima 2 rešenja}
\end{cases}[/dispmath]
koja su u skladu i s uslovom celog ovog [inlmath]II[/inlmath] slučaja, [inlmath]m\in\left(-\infty,-9\right)\cup\left(-5,+\infty\right)[/inlmath], tako da predstavljaju i konačna rešenja.