Ovaj osecam da je lak ali ne mogu vec dugo da ga resim:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}[/dispmath]

Podeli i brojilac i imenilac sa [inlmath]3^{n+1}[/inlmath].
Treba da dobiješ da je limes jednak [inlmath]3[/inlmath].

Znam da je tri ali nema sanse da ga svedem na neki tablicni limes - podelio sam kako si mi rekao ali nista ne vidim sto moze da dovede do nekog tablicnog limesa. Ako ti nije problem, uradi ga, da vidim gde sam i sta lupetao.

Nema ovde nikakvih tabličnih limesa:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancelto{0}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}+1}{\frac{2^n}{3^{n+1}}+\frac{3^n}{3^{n+1}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{1}{2}\cdot\cancelto{0}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}+\frac{1}{3}\right]}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3[/dispmath]
Vrlo je bitno da u prvom koraku i brojilac i imenilac podelimo baš sa [inlmath]3^{n+1}[/inlmath] a ne sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath], jer smo ovako dobili [inlmath]\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}[/inlmath] koje teži nuli, jer je osnova, [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath], manja od jedinice. Da smo brojilac i imenilac delili sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath], figurisalo bi nam [inlmath]\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}[/inlmath] koje teži beskonačnosti, pa s time ništa ne bismo mogli da uradimo.

Hvala na odgovoru i na objasnjenju
Imam dva nova zadatka koja sam resio i dobio tacno resenje ali imam nekoliko pitanja:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n+7^n}{7^n+\cos n}=\lim_{n\to\infty}\frac{7^n}{7^n+\cos n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\cos n}{7^n}}[/dispmath]
Jel ovo [inlmath]\frac{\cos n}{7^n}[/inlmath] tezi nuli ili jos treba nekako da se rastavi? Sad nesto razmisljam, iako sam napisao da tezi nuli mislim da ipak ne tezi zato sto za [inlmath]n=0[/inlmath] dobijemo da je to jedan - ne znam, pogubljen sam

A slicno pitanje i za ovaj drugi:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{n}{n^3+1}}{n!+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^3+1}}{n!+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+3)}[/dispmath]
Da li ja sad mogu da napisem da [inlmath]\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+3)}[/inlmath] tezi nuli i tu zavrsim zadatak? Nekako me buni to kad tezi nuli, a kad jedinici.

Hvala unapred na odgovoru.

forzajuve je napisao:Imam dva nova zadatka koja sam resio i dobio tacno resenje ali imam nekoliko pitanja:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n+7^n}{7^n+\cos n}=\lim_{n\to\infty}\frac{7^n}{7^n+\cos n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\cos n}{7^n}}[/dispmath]

E prvo ovo da malo prokomentarišem. Ovaj prvi korak, [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n+7^n}{7^n+\cos n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{7^n}{7^n+\cos n}[/inlmath] ne može tako da se piše, tj. sabirak [inlmath]\left(-1\right)^n[/inlmath] ne može tek tako da nestane. Pravilnije bi bilo brojilac i imenilac podeliti sa [inlmath]7^n[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(-1\right)^n+7^n}{7^n+\cos n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{\left(-1\right)^n}{7^n}}+1}{1+\frac{\cos n}{7^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\cos n}{7^n}}=\cdots[/dispmath]
Naravno, [inlmath]\frac{\left(-1\right)^n}{7^n}[/inlmath] teži nuli kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] zbog toga što je brojilac čas [inlmath]1[/inlmath], čas [inlmath]-1[/inlmath], ali je uvek neka konačna vrednost, dok je imenilac vrednost koja teži beskonačnosti, a količnik konačne i beskonačne vrednosti je nula.

A isti rezon koristimo i za ovo što si pitao,

forzajuve je napisao:Jel ovo [inlmath]\frac{\cos n}{7^n}[/inlmath] tezi nuli ili jos treba nekako da se rastavi?

Da, teži nuli za [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Slično priči od malopre, u brojiocu imamo neku vrednost koja u beskonačnosti jeste neodređena, ali za koju znamo da mora pripadati intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], dakle, vrednost joj je konačna (iako je neodređena), dok u imeniocu imamo vrednost koja teži beskonačnosti. Njihov količnik, prema tome, teži nuli.

forzajuve je napisao:Sad nesto razmisljam, iako sam napisao da tezi nuli mislim da ipak ne tezi zato sto za [inlmath]n=0[/inlmath] dobijemo da je to jedan - ne znam, pogubljen sam

Za [inlmath]n=0[/inlmath] jeste jedinica, ali mi ovde uopšte i ne posmatramo slučaj kad [inlmath]n\to 0[/inlmath], već kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath].

forzajuve je napisao:A slicno pitanje i za ovaj drugi:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{n}{n^3+1}}{n!+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^3+1}}{n!+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+3)}[/dispmath]
Da li ja sad mogu da napisem da [inlmath]\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+3)}[/inlmath] tezi nuli i tu zavrsim zadatak? Nekako me buni to kad tezi nuli, a kad jedinici.

Da, za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] izraz [inlmath]\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+3)}[/inlmath] teži nuli, napišeš tako i završiš zadatak. Doduše, taj izraz ti nije najtačniji, trebalo bi da se dobije [inlmath]\frac{1}{\left(n^3+1\right)((n-1)!+\frac{3}{n})}[/inlmath] (proveri gde ti je greška), ali i on takođe teži nuli.

Sad sam video gde sam pogresio kod drugog - kod skracivanja. Hvala na ukazanoj gresci. A sto se tice brojioca kod prvog zadatka, delio sam sve sa [inlmath]7^n[/inlmath] samo nisam sve pisao. Hvala na objasnjenju - sad je jasnije

[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+4}\right)^\frac{2n+5}{n+1}[/dispmath]
E sad kod ovog ne mogu da primenim onaj tablicni za Ojlerov broj a znam i zasto ne mogu, medjutim jedino sto mi pada na pamet jeste da svaki clan pojedinacno delim sa [inlmath]n[/inlmath] i u eksponentu i u osnovi pa dobijam [inlmath]2^2=4[/inlmath]
Valja li ovo sto sam napisao ili moze neki tablicni da se primeni?
Hvala unapred

U redu ti je postupak.

[dispmath]\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1+\mathrm{tg}\:x}{1+\sin x}\right)^{\sin^{-3}x}[/dispmath]
Evo gospodo, da li možete da mi rešite ovaj limes?

Samo da napomenem jednu stvar koju nisam uspeo da stavim u latexu. [inlmath]x[/inlmath] teži ka nuli a ne beskonačnosti (neće ni broj nula ni zero da mi prihvati ovde gde je infty).

Rešenje je [inlmath]\sqrt e[/inlmath].

Limes je na foru:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/dispmath]