[inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1+4x-x^2}}\mathrm dx[/inlmath], interesuje me samo jel se na kraju dobije pozitivan ili negativan [inlmath]\arcsin[/inlmath], i na krajupre nego sto ubacim smenu ja dobijem [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{\sqrt 5^2-(2-x)^2}}\mathrm dx[/inlmath], ja sam nasao isto da se taj oblik moze smatrati tablicnim, ali nisam siguran da li ga smem koristiti kao tablicni, pa me interesuje dokaz tog tablicnog integrala

jovica je napisao:interesuje me samo jel se na kraju dobije pozitivan ili negativan [inlmath]\arcsin[/inlmath]

Dobije se minus ispred arkus sinusa, ako na to misliš.

jovica je napisao:pa me interesuje dokaz tog tablicnog integrala

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{\sqrt 5^2-\left(2-x\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm d\left(2-x\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=[/dispmath][dispmath]=-\int\frac{\mathrm d\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=-\arcsin\frac{2-x}{\sqrt 5}+c=\arcsin\frac{x-2}{\sqrt 5}+c=\arcsin\frac{x\sqrt 5-2\sqrt 5}{5}+c[/dispmath]

zahvaljujem!

a u tom 3 koraku, kako ste od [inlmath]x[/inlmath] napravili [inlmath](2-x)[/inlmath], ako ubacim smenu da je [inlmath]x=2-x[/inlmath] ja dobijem tako, ali zar se onda ne bi trebalo i [inlmath]x[/inlmath] u imeniocu zameniti sa [inlmath]2-x[/inlmath] ?

Ne, nismo od [inlmath]x[/inlmath] napravili [inlmath]\left(2-x\right)[/inlmath], već smo od [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] napravili [inlmath]-\mathrm d\left(2-x\right)[/inlmath].

To sme da se radi, jer je [inlmath]a\mathrm dx=\mathrm d\left(ax\right)[/inlmath], pa ako tu uzmemo da je [inlmath]a=-1[/inlmath], tada je [inlmath]-\mathrm dx=\mathrm d\left(-x\right)[/inlmath].

A takođe, pošto je [inlmath]\mathrm dx=\mathrm d\left(x+c\right)[/inlmath], ako uzmemo da je [inlmath]c=2[/inlmath], tada i [inlmath]\mathrm d\left(-x\right)[/inlmath] možemo pisati kao [inlmath]\mathrm d\left(2-x\right)[/inlmath].

Dakle, nije bila u pitanju nikakva smena, već samo korišćenje prethodno navedene dve osobine diferencijala.

Tebe, znači, možda buni ovaj korak:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm d\left(2-x\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}[/dispmath]
Evo postupno:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=\underbrace{-\left(-1\right)}_1\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\left(-1\right)\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm d\left(-x\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt 5}\int\frac{\mathrm d\left(2-x\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{\sqrt 5}\right)^2}}[/dispmath]
Je l' OK sad?

ahaam, ja sam mislio da se, posto mi nije odgovarala ta smena [inlmath]x=2-x[/inlmath], da se radi smena sa [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] mozda D ali nisam imao pojma za te osobine diferencijala kapiram sada, hvala

Te osobine diferencijala se mogu i dokazati, na osnovu osobina izvoda:
[dispmath]\mathrm d\left(ax\right)=\left(ax\right)'\mathrm dx=a\:\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\mathrm d\left(x+c\right)=\left(x+c\right)'\mathrm dx=\left(x'+c'\right)\mathrm dx=\left(1+0\right)\mathrm dx=\mathrm dx[/dispmath]
O ostalim osobinama diferencijala imaš u ovoj temi.

ahm ,prilicno temeljno, mada ja nisam obracao posebno paznju na taj diferencijal, vec ga mehanicki prepisivao, sta on predstavlja uopste ?

Diferencijal bi bilo vrlo teško objasniti u jednoj ili dve rečenice i zbog toga sledi malo duži odgovor. Na početku odmah da se ogradim, da ovo što ću napisati predstavlja tumačenje diferencijala kakvo potiče od Lajbnica i koje se danas smatra zastarelim, ali je najlakše za razumevanje.

Pojam diferencijala je bilo neophodno uvesti da bi se mogao definisati izvod funkcije. Izvod predstavlja meru nagiba funkcije u nekoj tački. Kada je funkcija linearna (tj. prava linija), nagib joj je u svim tačkama isti i određuje se tako što izaberemo dve proizvoljne tačke, uočimo razliku njhovih [inlmath]x[/inlmath]-koordinata ([inlmath]\Delta x[/inlmath]) i razliku njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ([inlmath]\Delta y[/inlmath]) i njihov količnik, [inlmath]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/inlmath], pružiće nam informaciju o nagibu te funkcije i on će predstavljati njen prvi izvod (koji je u svim njenim tačkama jednak).

Međutim, kada imamo neku nelinearnu diferencijabilnu funkciju, kao na slici, kako onda odrediti izvod u nekoj posmatranoj tački [inlmath]M[/inlmath]?


Da bismo odredili izvod u tački [inlmath]M[/inlmath], moramo funkciju aproksimirati linearnom funkcijom u nekoj okolini tačke [inlmath]M\left(x,y\right)[/inlmath], u kojoj tražimo izvod. Što je ta okolina manja, aproksimacija linearnom funkcijom će biti tačnija. U toj okolini izaberemo neku tačku [inlmath]M'[/inlmath] s koordinatama [inlmath]\left(x+\Delta x,\:y+\Delta y\right)[/inlmath]. Dakle, što je tačka [inlmath]M'[/inlmath] bliža posmatranoj tački [inlmath]M[/inlmath], tj. što su [inlmath]\Delta x[/inlmath] i [inlmath]\Delta y[/inlmath] manji, to će količnik [inlmath]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/inlmath] manje odstupati od izvoda te funkcije u tački [inlmath]M[/inlmath] (treba primetiti da [inlmath]\Delta y[/inlmath] zavisi od [inlmath]\Delta x[/inlmath], tj. kako smanjujemo [inlmath]\Delta x[/inlmath], tako se automatski smanjuje i [inlmath]\Delta y[/inlmath]). Geometrijski gledano, sa smanjivanjem [inlmath]\Delta x[/inlmath], tetiva [inlmath]MM'[/inlmath] (na slici obeležena plavom bojom) sve će se više poklapati s tangentom na funkciju u tački [inlmath]M[/inlmath], a i sa samom funkcijom na segmentu [inlmath]MM'[/inlmath].

Naravno da [inlmath]\Delta x[/inlmath] ne treba smanjiti na samu nulu, jer bismo tada pri određivanju količnika [inlmath]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/inlmath] imali deljenje nule nulom, što predstavlja neodređenu vrednost, a geometrijski gledano, tačka [inlmath]M'[/inlmath] bi se tada poklopila s tačkom [inlmath]M[/inlmath], pa ne bismo mogli govoriti o tangenti koja je određena tačkama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]M'[/inlmath] – nagib takve tangente bi takođe bio neodređen, budući da bismo, zapravo, tada imali samo jednu tačku te tangente.

Upravo zbog prethodno navedenog, cilj nam je da [inlmath]\Delta x[/inlmath] smanjimo što više, a da ne postane nula. Znači, smanjimo na beskonačno malu vrednost, ali različitu od nule. E, ta beskonačno mala vrednost se zove diferencijal. Znači, kada pustimo da [inlmath]\Delta x[/inlmath] teži ka diferencijalu [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], tada će količnik [inlmath]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/inlmath] težiti količniku [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath], koji, po definiciji, predstavlja izvod funkcije:
[dispmath]y'\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/dispmath]
Geometrijski gledano, to bi značilo da se tačka [inlmath]M'[/inlmath] beskonačno približila tački [inlmath]M[/inlmath], ali se ipak s njom nije poklopila. Čim su to još uvek dve različite tačke, kroz njih je moguće provući jednu pravu koja je njima određena i ta prava će biti tangenta na funkciju u tački [inlmath]M[/inlmath], budući da funkcija na segmentu [inlmath]MM'[/inlmath], zbog toga što je taj segment beskonačno mali, može da se posmatra kao linearna funkcija (naravno, pod uslovom da je funkcija u toj tački diferencijabilna, kao što smo i pretpostavili da jeste).

---

Sledi objašnjenje i uloge diferencijala u integralnom računu.
Znamo da integral neke funkcije predstavlja površinu ispod te krive, tj. površinu između krive i [inlmath]x[/inlmath]-ose. Takođe, znamo da unutar svakog integrala mora figurisati i diferencijal [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Ali, zašto je to tako i kako smo do toga došli?

Posmatramo neku proizvoljnu funkciju kao na slici:


Bez upotrebe integrala, površinu bismo, aproksimativno, mogli izračunati tako što bismo za razne vrednosti nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath], odvojene intervalima [inlmath]\Delta x[/inlmath], računali vrednosti funkcije i, zatim, površinu ispod funkcije bismo, u aproksimaciji, posmatrali kao zbir površina pravougaonika (žuto obeleženih na slici), čije visine predstavljaju vrednost funkcije u toj tački, a širine su im svima jednake i iznose [inlmath]\Delta x[/inlmath]. Odstupanje, tj. razlika stvarne površine i one površine koju na ovaj način odredimo, jednako je zbiru površina trouglova, na slici obeleženih plavom bojom. Ovako izračunata površina može se napisati u obliku sume:
[dispmath]P=\sum_{k=1}^nP_k=\sum_{k=1}^ny_k\cdot\Delta x[/dispmath]
Jasno je da će površine plavih trouglova, a samim tim i odstupanje, biti utoliko manje, ukoliko je manji interval [inlmath]\Delta x[/inlmath]. Međutim, kao i u prethodnom slučaju, [inlmath]\Delta x[/inlmath] ne smemo smanjiti na nulu, jer bismo tada imali beskonačno mnogo pravougaonika čija je površna nula (jer im je širina nula), pa bi to predstavljalo množenje beskonačnosti i nule, što je takođe neodređena vrednost. Umesto toga, pustimo da [inlmath]\Delta x[/inlmath] teži ka nekoj beskonačno maloj vrednosti ali koja nije nula, a to je diferencijal [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Kada [inlmath]\Delta x\to\mathrm dx[/inlmath], tada vrednosti [inlmath]y_k[/inlmath] postaju kontinualne i pišemo ih kao [inlmath]y[/inlmath], a suma prelazi u integral:
[dispmath]P=\int y\:\mathrm dx[/dispmath]
Znači, integral možemo posmatrati kao beskonačnu sumu sabiraka [inlmath]y\:\mathrm dx[/inlmath] od kojih svaki ima beskonačno malu vrednost, zbog množenja sa diferencijalom [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Zato, ako bismo pri pisanju integrala izostavili [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i napisali samo [inlmath]\int f\left(x\right)[/inlmath], što je vrlo česta greška, tada bismo, zbog toga što integral predstavlja beskonačnu sumu, imali beskonačno mnogo sabiraka [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] od kojih svaki ima konačnu vrednost, pa bi vrednost te beskonačne sume, tj. vrednost integrala, bila beskonačna.

Da se nadovežem na prethodno. Rad sa diferencijalom kao beskonačno malom veličinom je koncept koji potiče od Lajbnica, i koji je danas zastareo. U suštini, koncept infinitenzimalnih veličina ostao je još samo u nestandardnoj analizi. Iako je prilično praktičan, nesaglasan je sa Arhimedovom aksiomom (svojstvom) da se za svako [inlmath]a>0[/inlmath] može naći neko [inlmath]n[/inlmath] takvo da za proizvoljno realno [inlmath]b>0[/inlmath] bude [inlmath]an>b[/inlmath]. Ima još razloga, ovo je samo jedan od njih. Zbog toga ću napisati kratak uvod u nešto kompletniju priču.

Neka se vrednost nezavisno promenljive promeni sa [inlmath]x_1[/inlmath] na [inlmath]x_2[/inlmath], a vrednost funkcije sa [inlmath]y_2[/inlmath] na [inlmath]y_1[/inlmath]. Priraštaj nezavisno promenljive je [inlmath]\Delta x=x_2-x_1[/inlmath], a priraštaj same funkcije [inlmath]y=f(x)[/inlmath] je [inlmath]\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)[/inlmath].

Do pojma izvoda dolazimo kao granične vrednosti količnika ta dva priraštaja za [inlmath]\Delta x\to 0[/inlmath], kao što je u prethodnom postu i navedeno.

Diferencijal funkcije [inlmath]f[/inlmath] u tački [inlmath]x_0[/inlmath] je [inlmath]\mathrm dy=\mathrm df(x_0)=f'(x_0)\cdot\Delta x[/inlmath]. Kako je izvod u datoj tački konstanta, postaje jasno da je diferencijal linearna funkcija priraštaja (linearna aproksimacija priraštaja).


Na sledećoj slici je dato i geometrijsko tumačenje – priraštaj funkcije je [inlmath]\Delta y=BC[/inlmath], dok je diferencijal [inlmath]\mathrm{d}y=BD[/inlmath]. Dakle, to je šta on predstavlja geometrijski. Treba primetiti sledeću stvar – što tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] budu bliža jedna drugoj, to će i [inlmath]BC[/inlmath] biti bliže [inlmath]BD[/inlmath]. One se neće skroz poklapati, ali će biti približno jednake kad [inlmath]A[/inlmath] teži [inlmath]C[/inlmath]. Drugim rečima, tada će diferencijal [inlmath]\mathrm{d}y[/inlmath] biti približno jednak priraštaju [inlmath]\Delta y[/inlmath].

Sledi i analitički dokaz. Posmatrajmo limes [inlmath]\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath]. Lako se pokazuje da je njegova vrednost:
[dispmath]\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-\mathrm{d}y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\mathrm{d}y}{\Delta x}=f'(x)-f'(x)=0[/dispmath]
Možemo odatle zaključiti da imenilac brže teži nuli. Dakle, kada [inlmath]\Delta x\to 0[/inlmath] onda i [inlmath]\Delta y-\mathrm{d}y\to 0[/inlmath], tj. [inlmath]\Delta y\to\mathrm{d}y[/inlmath].

Diferencijal [inlmath]\mathrm{d}y[/inlmath] je, dakle, približno jednak priraštaju funkcije [inlmath]\Delta y[/inlmath] kada [inlmath]\Delta x\to 0[/inlmath].

To je što se tiče diferencijala funkcije, a evo i za diferencijal nezavisno promenljive. Za njega važi:
[dispmath]\mathrm{d}x=\left(x'\right)\Delta x=\Delta x[/dispmath]
Prema tome, diferencijal nezavisne realne promenljive jednak je priraštaju te promenljive.

Pošto važi jednakost [inlmath]\mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x_0)=f'(x_0)\cdot\Delta x=f'(x_0)\cdot\mathrm{d}x[/inlmath], izvod u datoj tački je [inlmath]f'(x_0)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}[/inlmath]. Time smo pokazali da se, umesto kao granična vrednost količnika priraštaja, izvod može definisati i kao odnos diferencijala.

Kao što se iz prethodnog svakako dalo naslutiti, iz definicija koje sam dao, diferencijal u opštem slučaju čak i ne teži nuli. Pomenuo sam da je diferencijal nezavisne promenljive jednak njenom priraštaju. Kako priraštaj može biti proizvoljan, tako je i sa diferencijalom. Slično, i vrednost [inlmath]\mathrm{d}y[/inlmath] ne mora da teži nuli. Međutim, kada [inlmath]\Delta x\to 0[/inlmath] onda važi i [inlmath]\mathrm{d}x\to 0[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{d}y\to 0[/inlmath].