Pozdrav, evo me i ovde
Evo zadatka:
[dispmath]10^{-3}\cdot x^{\log_{10}x}+x\left(\log^2_{10}x-2\log_{10}x\right)=x^2+3x[/dispmath]

Sad imam problema i oko ovoga zadatka [dispmath]x^{\log_{x^2}\left(x^2-1\right)}=5[/dispmath]
Ovi logaritmi mi, ocigledno, nisu jaka strana.

Zato smo mi tu da pomognemo.

Evo ovog drugog, zasad.
[dispmath]x^{\log_{x^2}\left(x^2-1\right)}=5[/dispmath]
Prvo postavljamo uslove da bi izraz uopšte bio definisan:

[inlmath]x^2-1>0\quad\Rightarrow\quad x^2>1\quad\Rightarrow\quad x<-1\;\lor\; x>1[/inlmath]
[inlmath]x^2>0\;\land\; x^2\ne 1\quad\Rightarrow\quad x\ne 0\;\land\; x\ne\pm 1[/inlmath]
[inlmath]x\ge 0[/inlmath]

Presek svih ovih uslova je
[inlmath]x>1[/inlmath]

Sad krećemo s rešavanjem jednačine:
[dispmath]x^{\log_{x^2}\left(x^2-1\right)}=x^\frac{1}{\log_{\left(x^2-1\right)}x^2}=x^\frac{1}{2\log_{\left(x^2-1\right)}x}=x^{\frac{1}{2}\frac{1}{\log_{\left(x^2-1\right)}x}}=[/dispmath][dispmath]=x^{\frac{1}{2}\log_x\left(x^2-1\right)}=\left[x^{\log_x\left(x^2-1\right)}\right]^\frac{1}{2}=\left(x^2-1\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{x^2-1}=5[/dispmath]
Kad u jednačini [inlmath]\sqrt{x^2-1}=5[/inlmath] kvadriramo obe strane:
[dispmath]x^2-1=25[/dispmath]
[dispmath]x^2=26[/dispmath]
[dispmath]x=\pm\sqrt{26}[/dispmath]
ali, zbog uslova koji smo imali na početku da je [inlmath]x>1[/inlmath], rešenje [inlmath]-\sqrt{26}[/inlmath] otpada i ostaje samo
[dispmath]x=\sqrt{26}[/dispmath]

A za ovaj prvi zadatak, budući da u istoj jednačini figurišu i [inlmath]x[/inlmath] kao argument logaritma i [inlmath]x[/inlmath] kao samostalan faktor, rešenje je moguće odrediti samo aproksimacijom, i to numeričkim metodama, za koje ne verujem da ste ih radili...
Malo mi je neverovatno da ste takav zadatak dobili da uradite...

Nismo radili aproksimaciju. Radili smo samo onih 7-8 pravila logaritama i preko njih treba da uradimo . Rekoh ja da je zeznut.

Ispravka... Proverio sam, ipak može... Ovde su vrednosti tako podešene da se ipak može izračunati i analitičkim putem.
[dispmath]10^{-3}\cdot x^{\log_{10}x}+x\left(\log^2_{10}x-2\log_{10}x\right)=x^2+3x[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x[/inlmath] u argumentu logaritma, ono mora biti veće od [inlmath]0[/inlmath].
[inlmath]x>0[/inlmath]

[inlmath]x[/inlmath] možemo izvući ispred leve i ispred desne strane:
[dispmath]x\left[10^{-3}\cdot x^{\left(\log_{10}x\right)-1}+\left(\log^2_{10}x-2\log_{10}x\right)\right]=x\left(x+3\right)[/dispmath]
A pošto, po uslovu koji je postavljen, [inlmath]x[/inlmath] ne može imati vrednost nula, možemo obe strane skratiti sa [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]10^{-3}\cdot x^{\left(\log_{10}x\right)-1}+\log^2_{10}x-2\log_{10}x=x+3[/dispmath]
Uvodimo smenu [inlmath]\log_{10}x=t,\quad x=10^t[/inlmath]
[dispmath]10^{-3}\cdot\left(10^t\right)^{t-1}+t^2-2t=10^t+3[/dispmath]
[dispmath]10^{-3}\cdot\left(10\right)^{t^2-t}+t^2-2t=10^t+3[/dispmath]
[dispmath]\left(10\right)^{t^2-t-3}+t^2-2t=10^t+3[/dispmath]
[dispmath]\left(10\right)^{t^2-t-3}-10^t=-t^2+2t+3[/dispmath]
[dispmath]10^t\left[\left(10\right)^{t^2-t-3-t}-1\right]=-\left(t^2-2t-3\right)[/dispmath]
[dispmath]10^t\left[\left(10\right)^{t^2-2t-3}-1\right]=-\left(t^2-2t-3\right)[/dispmath]
I sada je jedini način da odredimo rešenje, a da to ne bude numeričkim putem, da uočimo da će jednakost biti ispunjena onda kada su obe strane jednake [inlmath]0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]t^2-2t-3=0[/inlmath]:
[dispmath]t^2-2t-3=0[/dispmath]
[dispmath]t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}[/dispmath]
[dispmath]t_1=-1\quad t_2=3[/dispmath]
Kada vratimo smenu, dobija se
[dispmath]x_1=10^{t_1}=10^{-1}=0,1\quad x_2=10^{t_2}=10^3=1000[/dispmath]

Obustavi taj, ako ide tesko . Pokusaj sa ovim, on ti je laksi :
[dispmath]\left(1+\frac{1}{x_1}\right)\left(1+\frac{1}{x_2}\right)\left(1+\frac{1}{x_3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{x_n}\right)\ge (n+1)^n[/dispmath]
Ako su [inlmath]x_1+x_2+x_3+\cdots x_n =1[/inlmath] i [inlmath]x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\in \mathbb{R}^+[/inlmath]

Valentina je napisao:Obustavi taj, ako ide tesko .

Upravo je rešen, u postu iznad tvog...

Valentina je napisao:Pokusaj sa ovim, on ti je laksi :

Hoću, al' ne mogu sad... Pokušaću kasnije... A možda se nađe i još neka dobra duša da se pridruži u rešavanju mozgalica...

[dispmath]\left(1+\frac{1}{x_1}\right)\left(1+\frac{1}{x_2}\right)\left(1+\frac{1}{x_3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{x_n}\right)\ge (n+1)^n[/dispmath]
Logaritmovanjem:
[dispmath]\ln\left(1+\frac{1}{x_1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_2}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_3}\right)+\cdots +\ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)\ge n\cdot\ln (n+1)[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x_1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_2}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_3}\right)+\cdots +\ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)\right)\ge\ln(n+1)[/dispmath]
Primenom Jensenove nejednakosti na funkciju [inlmath]f=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)[/inlmath]
[dispmath]\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}\ge f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x_1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_2}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{x_3}\right)+\cdots +\ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right) \right)\ge f\left(\frac{1}{n}\right)[/dispmath]
gde je iskorišćeno da je [inlmath]x_1+x_2+\cdots +x_n=1[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x_1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_2}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_3}\right)+\cdots +\ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right) \right)\ge f\left(\frac{1}{n}\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x_1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_2}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{x_3}\right)+\cdots +\ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)\right)\ge\ln(1+n)[/dispmath]
Ovim je nejednakost dokazana.