Kako ovo resiti bez digitrona (izracunati)
1.[dispmath]\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}[/dispmath]
probao sam da prosirim da dopunim da bude razlika kubova ali time nista nisam postigao,jedino sto mi pada na pamet je da dodam i oduzmem neke brojeve tako da bude [inlmath](x+y)^3[/inlmath] ali mi ne polazi za rukom
2.[dispmath]\sqrt{\left(\sqrt 7-3\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\sqrt 7-3\right)^3}[/dispmath]
ovde da uklonim korene nista mi ne radi i ne znam sa sem toga da probam
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ ALGEBRA
Resiti bez digitrona
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 22 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Re: Resiti bez digitrona
od Milovan » Subota, 14. Jun 2014, 17:40
1) Pomnoži potkorene veličine sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath]. Dobijaš:
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}\right)[/dispmath]
Sad probaj obe potkorene veličine da predstaviš kao kubove.
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{5}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(1-\sqrt{5}\right)^3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1[/dispmath]
Drugi način da ovo uradiš jeste da izjednačiš polazni izraz sa [inlmath]x[/inlmath] i onda stepenuješ obe strane sa [inlmath]3[/inlmath]... Itd.
2)
Kod prvog korena vodi računa da je [inlmath]\sqrt{a^2}=|a|[/inlmath], tj. da je [inlmath]\sqrt{\left(\sqrt 7-3\right)^2}=\left|\sqrt 7-3\right|=3-\sqrt 7[/inlmath].
S druge strane je [inlmath]\sqrt[3]{\left(\sqrt 7-3\right)^3}=\sqrt{7}-3[/inlmath].
Zbir ova dva je prema tome:
[dispmath]3-\sqrt{7}+\sqrt 7-3=0[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}\right)[/dispmath]
Sad probaj obe potkorene veličine da predstaviš kao kubove.
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{5}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(1-\sqrt{5}\right)^3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1[/dispmath]
Drugi način da ovo uradiš jeste da izjednačiš polazni izraz sa [inlmath]x[/inlmath] i onda stepenuješ obe strane sa [inlmath]3[/inlmath]... Itd.
2)
Kod prvog korena vodi računa da je [inlmath]\sqrt{a^2}=|a|[/inlmath], tj. da je [inlmath]\sqrt{\left(\sqrt 7-3\right)^2}=\left|\sqrt 7-3\right|=3-\sqrt 7[/inlmath].
S druge strane je [inlmath]\sqrt[3]{\left(\sqrt 7-3\right)^3}=\sqrt{7}-3[/inlmath].
Zbir ova dva je prema tome:
[dispmath]3-\sqrt{7}+\sqrt 7-3=0[/dispmath]
Re: Resiti bez digitrona
od Odd one out » Nedelja, 15. Jun 2014, 21:09
zasto je [dispmath]\left|\sqrt 7-3\right|=3-\sqrt 7[/dispmath]
Re: Resiti bez digitrona
od Daniel » Nedelja, 15. Jun 2014, 21:20
Zato što je po definiciji [inlmath]\left|x\right|=-x[/inlmath] kada je [inlmath]x[/inlmath] manje od nule. A [inlmath]\sqrt 7-3[/inlmath] jeste manje od nule, jer je [inlmath]\sqrt 7<3[/inlmath]. A u to se možeš uveriti ili tako što kvadriraš obe strane pa dobiješ [inlmath]7<9[/inlmath] što je tačna nejednakost, ili tako što [inlmath]3[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sqrt 9[/inlmath], pa pošto je [inlmath]\sqrt 7<\sqrt 9[/inlmath], tada je i [inlmath]\sqrt 7<3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Resiti bez digitrona
od Odd one out » Utorak, 17. Jun 2014, 18:26
ok,kako ti je palo na pamet da pomnozis sve sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath]?
Re: Resiti bez digitrona
od Milovan » Utorak, 17. Jun 2014, 18:40
Intuicija, cilj je bio da se postigne da potkorena veličina bude treći stepen nečega.
U principu, množenje sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath] nije nužno, nego možeš u startu da prikažeš potkorene veličine kao [inlmath]\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath], odnosno [inlmath]\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath].
U principu, množenje sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath] nije nužno, nego možeš u startu da prikažeš potkorene veličine kao [inlmath]\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath], odnosno [inlmath]\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath].
Re: Resiti bez digitrona
od bobanex » Utorak, 26. Maj 2015, 12:25
[dispmath]a=\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\\
a^3=2+\sqrt5+3\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\right)+2-\sqrt5\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{\left(2+\sqrt5\right)\cdot\left(2-\sqrt5\right)}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{4-5}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{-1}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\left(-1\right)\cdot a\\
a^3=4-3a\\
a^3+3a-4=0\\
a^3-a^2+a^2-a+4a-4=0\\
a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)+4\left(a-1\right)=0\\
\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0\\
a-1=0\\
a=1[/dispmath]
a^3=2+\sqrt5+3\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\right)+2-\sqrt5\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{\left(2+\sqrt5\right)\cdot\left(2-\sqrt5\right)}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{4-5}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{-1}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\left(-1\right)\cdot a\\
a^3=4-3a\\
a^3+3a-4=0\\
a^3-a^2+a^2-a+4a-4=0\\
a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)+4\left(a-1\right)=0\\
\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0\\
a-1=0\\
a=1[/dispmath]
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Izracunati izraz
od techn0 » Subota, 18. Jul 2015, 17:22
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom
Pozdrav.
Rjesavajuci zadatke iz zbirke za prijemni ispit naisao sam na zadatak koji ne mogu da shvatim!
Zadatak:
[dispmath]\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}[/dispmath]
Trazeci po internetu nasao sam isti zadatak i diskusiju o njemu , rjesava se po sljedecem identitetu:
[dispmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5[/dispmath]
Da li mi neko moze pojasniti u koracima ovaj identitet ?
Hvala unaprijed.
Re: Izracunati izraz
od Daniel » Subota, 18. Jul 2015, 17:42
Pozdrav.
Meni, lično, nikad ne bi palo na pamet da se [inlmath]2+\sqrt5[/inlmath] može napisati kao [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3[/inlmath], da li je u tom objašnjenju napisano i kojim se putem do te jednakosti dolazi?
A kad već imaš pred sobom jednakost [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5[/inlmath], sasvim se lako pokazuje njena tačnost, tako što [inlmath]\frac{1+\sqrt5}{2}[/inlmath] digneš na treći stepen koristeći [inlmath]\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}[/inlmath] i formulu za kub zbira, [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath].
Radi ovog zadatka, pogledaj ovu temu.
Meni, lično, nikad ne bi palo na pamet da se [inlmath]2+\sqrt5[/inlmath] može napisati kao [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3[/inlmath], da li je u tom objašnjenju napisano i kojim se putem do te jednakosti dolazi?
A kad već imaš pred sobom jednakost [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5[/inlmath], sasvim se lako pokazuje njena tačnost, tako što [inlmath]\frac{1+\sqrt5}{2}[/inlmath] digneš na treći stepen koristeći [inlmath]\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}[/inlmath] i formulu za kub zbira, [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath].
Radi ovog zadatka, pogledaj ovu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Izracunati izraz
od Gogele » Subota, 18. Jul 2015, 18:01
Evo, da i ja pokušam da pomognem nekom u nevolji. Osim što važi [inlmath]2+\sqrt5=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3[/inlmath], onaj ko je postavio pitanje neka primeti da važi i da je [inlmath]2-\sqrt5=\left(\frac{1+\left(-\sqrt5\right)}{2}\right)^3[/inlmath], i onda može dalje i sam. Eto. Rezultat je, koliko sam ja računao, [inlmath]1[/inlmath].
22 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju