Tako je, napišeš da [inlmath]\sin\frac{x}{6}\in\left[-1,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Pa, ako si našao uglove, nema ništa dalje. U zadatku se upravo to i tražilo – naći [inlmath]x[/inlmath], to jest uglove.

Ove uglove sam nasao, ali nisam nasao intervale kome pripada [inlmath]x[/inlmath]. Imam [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Sad ovde nisam siguran kako da odredim interval. Valjda je [inlmath]x\in (\pi+12k\pi,5\pi+12k\pi)[/inlmath]. A za drugu nejednacinu [inlmath]\sin\frac{x}{6}\ge -1[/inlmath], tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=9\pi+12k\pi[/inlmath] za [inlmath]x=-1[/inlmath]. Ako je ovo dobro, kako bi se odredilo krajnje resenje?

Miladin Jovic je napisao:Imam [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath].

Vrlo je nepravilno ovde pisati [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], zato što su, zbog stroge nejednakosti u nejednačini [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath], upravo to vrednosti koje [inlmath]x[/inlmath] ne može imati. Razumem da si hteo da kažeš da su to granice između intervala kojima [inlmath]x[/inlmath] pripada i intervala kojima [inlmath]x[/inlmath] ne pripada, ali sâm način ovakvog pisanja nije dobar.

Miladin Jovic je napisao:Valjda je [inlmath]x\in (\pi+12k\pi,5\pi+12k\pi)[/inlmath].

Nije, to bi bilo za suprotan slučaj, kada bismo imali suprotno okrenut znak nejednakosti, tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}{\color{red}>}\frac{1}{2}[/inlmath].

Miladin Jovic je napisao:A za drugu nejednacinu [inlmath]\sin\frac{x}{6}\ge -1[/inlmath], tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=9\pi+12k\pi[/inlmath] za [inlmath]x=-1[/inlmath]. Ako je ovo dobro, kako bi se odredilo krajnje resenje?

Drugu nejednačinu ne treba ni da rešavaš, jer je ona uvek zadovoljena, tj. sinus je uvek [inlmath]\ge -1[/inlmath], za svako [inlmath]x[/inlmath]. To jest, rešenje te druge nejednačine bi bilo [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].

---

Nacrtaš trigonometrijsku kružnicu i sa nje praktično rešavaš nejednačinu [inlmath]-1\le\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath].

Na [inlmath]y[/inlmath]-osi, na kojoj meriš sinus, uočiš interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] (na slici obeležen crveno):


Zatim uočiš koje su to tačke na trigonometrijskoj kružnici čije bi projekcije na [inlmath]y[/inlmath]-osu odgovarale graničnoj vrednosti nejednačine, tj. [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:


I na kraju spojiš centar trigonometrijske kružnice s tim tačkama na kružnici, uočiš uglove koje te duži grade s pozitivnim delom [inlmath]x[/inlmath]-ose; obeležiš oblast uglova za koje će se vrednost sinusa nalaziti u zadatom intervalu (na slici obeležen žućkasto):


Na ovaj način vrlo lako možeš očitati u kojim intervalima treba da se nalaze traženi uglovi da bi nejednačina bila zadovoljena.

Hvala puno, konacno shvatio kako naci te intervale na jednostavan nacin. Resenje je [inlmath]x\in(5\pi+12k\pi,13\pi+12k\pi)[/inlmath]?

Kako dobijete ovo?
[dispmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]

Govoriš o ovom postu.
Dakle, data je nejednačina
[dispmath]4\cos^2x-3>0[/dispmath]
Rešimo je po [inlmath]\cos x[/inlmath],
[dispmath]4\cos^2x>3\\
\cos^2x>\frac{3}{4}[/dispmath]
Korenujemo obe strane>
[dispmath]\sqrt{\cos^2x}>\sqrt{\frac{3}{4}}\\
\left|\cos x\right|>\frac{\sqrt 3}{2}\\
\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]

A npr
[dispmath](\mathrm{tg}\:x-1)\left(\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3\right)<0[/dispmath]
To se resava da je
[dispmath]\mathrm{tg}\:x-1>0[/dispmath]
i
[dispmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3<0[/dispmath]
ali zasto ne obrnuto? tj zasto nemam dva slucaja, kad je prvo vece drugo manje i obrnuto?

Zbog toga što je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath] uvek veće od [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3[/inlmath] (budući da je [inlmath]1<\sqrt 3[/inlmath]), pa samim tim nije moguće da [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath] bude negativno, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3[/inlmath] pozitivno.

Ako bi postavio uslov da je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1<0[/inlmath], a [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt{3}>1[/inlmath], to bi značilo da je [inlmath]\mathrm{tg}\:x<1[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:x>\sqrt{3}[/inlmath], što svakako ne može da važi u isto vreme.

Takođe, za svako [inlmath]x[/inlmath] je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt{3}<\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath]. Sasvim jasno, ako je desna strana negativna, onda je i leva, što bi dalo pozitivan proizvod.

Možeš ti svakako da postaviš i taj drugi uslov, ali da nakon toga zaključiš da je ta situacija nemoguća.

EDIT: Daniel je bio brži, ali neka ostane i ovo moje.