Broj [inlmath]n\choose 3[/inlmath] je [inlmath]5[/inlmath] puta manji od broja [inlmath]n+2\choose 4[/inlmath]. Koliki je broj [inlmath]n[/inlmath]?

[dispmath]5{n\choose 3}={n+2\choose 4}[/dispmath]
[dispmath]5\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}=\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-2\right)!4!}[/dispmath]
[dispmath]5\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n!}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)!\cdot 4\cdot 3!}[/dispmath]
Skratimo [inlmath]n![/inlmath] na levoj i na desnoj strani; takođe, skratimo i [inlmath]\left(n-3\right)![/inlmath] i na levoj i na desnoj strani, skratimo i [inlmath]3![/inlmath] i na levoj i na desnoj strani:
[dispmath]5=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{4\left(n-2\right)}[/dispmath]
[dispmath]20\left(n-2\right)=\left(n+2\right)\left(n+1\right)[/dispmath]
[dispmath]20n-40=n^2+3n+2[/dispmath]
[dispmath]n^2-17n+42=0[/dispmath]
Kao rešenja ove kvadratne jednačine dobiju se
[dispmath]n_1=3\qquad n_2=14[/dispmath]

Treba paziti pri skraćivanju, [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=0[/inlmath] su takođe rešenja.

Hm, pa ne bih se baš složio.

Za [inlmath]n=0[/inlmath] i [inlmath]n=1[/inlmath] imali bismo [inlmath]0\choose 3[/inlmath] i [inlmath]1\choose 3[/inlmath], koji nisu definisani, jer bismo onda dobili faktorijele negativnih brojeva.

Ja bih pošao od druge formule:
[dispmath]{n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}[/dispmath]
Onda je
[dispmath]{n\choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}[/dispmath]
A
[dispmath]{{n+2}\choose 4}=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}[/dispmath]
I onda se dobije jednakost:
[dispmath]5\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}[/dispmath]
Dva rešenja su [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=0[/inlmath].
Kad se to krati, ostali članovi daju kvadratnu jednačinu čija su rešenja ona koja si ta naveo.

I onda su sva rešenja [inlmath]n=0[/inlmath], [inlmath]n=1[/inlmath], [inlmath]n=3[/inlmath] i [inlmath]n=14[/inlmath].

Pri tom je [inlmath]{1\choose 3}=0[/inlmath], i [inlmath]{0\choose 3}=0[/inlmath].

Fora je što definicija binomnog koeficijenta koju si naveo važi za [inlmath]n\ge k\ge 0[/inlmath].

Za [inlmath]k<0[/inlmath] ili [inlmath]k>n\ge 0[/inlmath], binomni koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath] je po definiciji nula.

Iskreno, prvi put čujem da se u binomnom koeficijentu koriste [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] takvi da je [inlmath]n<k[/inlmath]. Tim pre, što je binomni koeficijent uveden kao broj mogućih kombinacija podskupova od [inlmath]k[/inlmath] elemenata skupa [inlmath]n[/inlmath], pri čemu, samim tim, mora biti zadovoljeno [inlmath]k\le n[/inlmath].

U članku na Vikipediji se, vidim, spominje mogućnost nadgradnje binomnog koeficijenta iznad oblika u kome je [inlmath]k\le n[/inlmath]:

Wikipedia je napisao:The properties of binomial coefficients have led to extending the meaning of the symbol [inlmath]n\choose k[/inlmath] beyond the basic case where [inlmath]n[/inlmath] and [inlmath]k[/inlmath] are nonnegative integers with [inlmath]k ≤ n[/inlmath]; such expressions are then still called binomial coefficients.

S druge strane, na Wolfram-ovom sajtu spominje se svođenje gama-funkcije na faktorijele:

Wolfram je napisao:For nonnegative integer arguments, the gamma function reduces to factorials, leading to
[inlmath]{n\choose k}=\begin{cases}
\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!} & \mbox{for }0\le k<n\\
\\
0 & \mbox{otherwise}
\end{cases}.[/inlmath]

mada mi ovde nije jasno čemu stroga nejednakost [inlmath]k<n[/inlmath], kada može bez problema biti i [inlmath]k=n[/inlmath].

Budući da se, što se ovog zadatka tiče, ipak radi o srednjoj školi, čisto sumnjam da se pri njegovom rešavanju traži apstrakcija binomnog koeficijenta na oblik u kojem je moguć slučaj [inlmath]n<k[/inlmath].

Daniel je napisao:mada mi ovde nije jasno čemu stroga nejednakost [inlmath]k<n[/inlmath], kada može bez problema biti i [inlmath]k=n[/inlmath].

S ovim se slažem, mislim da je u pitanju greška.

Onda je tocno ovo u prvom postu?
Hvala al ne kuzim bas, nije bitno, snac cu se. Previse zagrada odjednom i to..

Ma ovde ti je najčešća „caka“ to da se [inlmath]n![/inlmath] i [inlmath]\left(n-1\right)![/inlmath] skraćuju tako što [inlmath]n![/inlmath] napišeš kao [inlmath]n\left(n-1\right)![/inlmath] pa se onda ovi faktori [inlmath]\left(n-1\right)![/inlmath] krate i ostaje samo [inlmath]n[/inlmath]...

A što se tiče binomnog koeficijenta [inlmath]n\choose k[/inlmath] za slučaj [inlmath]n<k[/inlmath]... Da mi sad ovde ne bismo nagađali da li tvoj(a) profesor(ka) traži da se obuhvati i taj slučaj ili ne, najbolje je da to pitaš profesora/ku. Pa kako on(a) traži, ti tako i radi...