Ovo je djelomično riješeni zadatak. Nazivnik bi trebalo rastaviti na parcijalne razlomke tako da dobijemo [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Može li mi netko objasniti kako se to radi? (iz materijala koje iman mi nije jasno).
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm{d}x[/dispmath]

Hoćeš za ovaj konkretan zadatak, ili uopšte?
Uopšte, to se radi tako da, ako u imeniocu imaš polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena, treba da ga faktorišeš (što znači da moraš pronaći sve njegove nule kako bi ga mogao napisati u faktorisanom obliku). Polinom bilo kog stepena može se rastaviti na faktore prvog i drugog stepena. (Polinomi drugog stepena se nekad mogu, a nekad ne mogu rastaviti na faktore prvog stepena, zavisno od toga da li su im nule realne ili kompleksne.)
U brojiocu moramo imati polinom manjeg stepena od onog u imeniocu, a ako to nije slučaj, pre primene ove metode moramo izraz svesti na taj oblik, na sledeći način:[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=G\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/dispmath]gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] količnik polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], a [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] njihov ostatak. Pošto je stepen ostatka uvek manji od stepena delioca, u razlomku [inlmath]\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/inlmath] je zadovoljeno to da u brojiocu imamo polinom manjeg stepena nego u brojiocu.

I, pošto smo prethodno obezbedili da u brojiocu imamo polinom manjeg stepena od onog u imeniocu, postupak bi bio sledeći:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0}=[/dispmath]faktorišemo polinom u imeniocu[dispmath]=\frac{P\left(x\right)}{\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right)\left(x-\alpha_2\right)^2\cdots\left(x-\alpha_2\right)^k\left(x^2+p_1x+q_1\right)\left(x^2+p_2x+q_2\right)^2\cdots\left(x^2+p_2x+q_2\right)^l}=[/dispmath]rastavimo ovaj razlomak kao zbir više sabiraka, po sledećem pravilu: ako u imeniocu imamo faktor prvog stepena, u brojiocu moramo imati konstantu koju kasnije određujemo; ako u imeniocu imamo faktor drugog stepena, u brojiocu moramo imati polinom prvog stepena s koeficijentima koje takođe kasnije određujemo; ako u imeniocu imamo višestruki faktor, onda moramo formirati više sabiraka, u kojima stepen tog faktora ide od [inlmath]1[/inlmath] pa do onoliko koliki je red tog faktora:[dispmath]=\frac{A}{x-\alpha_1}+[/dispmath][dispmath]+\frac{B_1}{x-\alpha_2}+\frac{B_2}{\left(x-\alpha_2\right)^2}+\cdots+\frac{B_k}{\left(x-\alpha_2\right)^k}+[/dispmath][dispmath]+\frac{Cx+D}{x^2+p_1x+q_1}+[/dispmath][dispmath]+\frac{E_1x+F_1}{x^2+p_2x+q_2}+\frac{E_2x+F_2}{\left(x^2+p_2x+q_2\right)^2}+\cdots+\frac{E_lx+F_l}{\left(x^2+p_2x+q_2\right)^l}[/dispmath]

A za ovaj konkretan zadatak postupak bi bio sledeći:
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm dx[/dispmath]
Pošto su nule polinoma [inlmath]x^2+7x+12[/inlmath] jednake [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], možemo ga napisati u faktorisanom obliku:
[dispmath]x^2+7x+12=\left(x+4\right)\left(x+3\right)[/dispmath]
pa integral transformišemo:
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm dx=\int\frac{38x+86}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx=\int\left(\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x+3}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx=\int\frac{\left(A+B\right)x+\left(3A+4B\right)}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Iz ovoga sledi da je
[dispmath]38x+86=\left(A+B\right)x+\left(3A+4B\right)[/dispmath]
što nam daje sistem od dve jednačine s dve nepoznate:

[inlmath]A+B=38\\
3A+4B=86[/inlmath]

Rešavanjem dobijamo

[inlmath]A=66\\
B=-28[/inlmath]

tako da integral postaje

[dispmath]\int\left(\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x+3}\right)\mathrm dx=\int\left(\frac{66}{x+4}-\frac{28}{x+3}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=66\int\frac{\mathrm dx}{x+4}-28\int\frac{\mathrm dx}{x+3}=66\ln\left|x+4\right|-28\ln\left|x+3\right|+c[/dispmath]

Razumio sam, zahvaljujem!

Evo može li rastav na parcijalne razlomke sljedećeg integrala:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+5x}[/dispmath]

Isti je princip kao u prethodnom primeru:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+5x}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x+5\right)}=\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}\right)\mathrm dx=\int\frac{A\left(x+5\right)+Bx}{x\left(x+5\right)}\mathrm dx=\int\frac{\left(A+B\right)x+5A}{x\left(x+5\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Odavde sledi da je
[dispmath]\left(A+B\right)x+5A=1[/dispmath]
pa dobijamo sistem jednačina:

[inlmath]A+B=0\\
5A=1[/inlmath]

čija su rešenja

[inlmath]A=\frac{1}{5}\\
B=-\frac{1}{5}[/inlmath]

pa integral postaje

[dispmath]\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}\right)\mathrm dx=\int\left[\frac{1}{5x}-\frac{1}{5\left(x+5\right)}\right]\mathrm dx=\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm dx}{x}-\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm dx}{x+5}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{5}\ln\left|x\right|-\frac{1}{5}\ln\left|x+5\right|+c=\frac{1}{5}\ln\left|\frac{x}{x+5}\right|+c[/dispmath]

Može li neko riješiti ovaj integral i pritom što je više moguće objasniti postupke.
[dispmath]\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx[/dispmath]

Potpuno je isti princip rešavanja kao i u prethodnim zadacima, tako da ne bi trebalo da ti ovo pravi problem, al' OK, evo detaljnog postupka i za ovaj integral:
[dispmath]\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx=\int\frac{x+1}{x\left(x^2+x-2\right)}\mathrm dx=\int\frac{x+1}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\mathrm dx=\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{A\left(x+2\right)\left(x-1\right)+Bx\left(x-1\right)+Cx\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\int\frac{Ax^2+Ax-2A+Bx^2-Bx+Cx^2+2Cx}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\left(A+B+C\right)x^2+\left(A-B+2C\right)x-2A}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}[/dispmath]
Odavde dobijamo da je

[inlmath]x+1=\left(A+B+C\right)x^2+\left(A-B+2C\right)x-2A[/inlmath]

pa iz te jednakosti dobijamo sistem od tri jednačine s tri nepoznate:

[inlmath]A+B+C=0\\
A-B+2C=1\\
-2A=1[/inlmath]

Rešenja sistema su

[inlmath]A=-\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{6}\\
C=\frac{2}{3}[/inlmath]

pa će integral biti
[dispmath]\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right)\mathrm dx=\int\left(-\frac{1}{2x}-\frac{1}{6\left(x+2\right)}+\frac{2}{3\left(x-1\right)}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x}-\frac{1}{6}\int\frac{\mathrm dx}{x+2}+\frac{2}{3}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}=-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|-\frac{1}{6}\ln\left|x+2\right|+\frac{2}{3}\ln\left|x-1\right|+c[/dispmath]

Hvala. Poklapa se sve i ovi tipovi nisu problem, ali sljedeći tip mi nije dok kraja jasan, tj. jesu nekoliko početnih koraka, pa ako ga ti ili neko drugi može riješiti i objasniti
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]

Ovaj ti je još lakši od prethodnog, jer si u prethodnom imao u imeniocu polinom 3. stepena, a ovde imaš polinom 2. stepena. Možeš li napisati šta te konkretno buni u ovom zadatku?