Ovo je za Algebru. Prebacio sam.
Pa, hajde da vidimo.
Ubacimo rešenje [inlmath]x=2[/inlmath] u polaznu jednačinu i dobijemo
[dispmath]\log_2\left(2-1\right)+\log_2\left(2+2\right)=2\\
\log_21+\log_24=2\\
0+2=2\\
2=2[/dispmath]
Jednačina je zadovoljena.
A sad da vidimo za to drugo rešenje, [inlmath]x=-3[/inlmath]:
[dispmath]\log_2\left(-3-1\right)+\log_2\left(-3+2\right)=2\\
\log_2\left(-4\right)+\log_2\left(-1\right)=2[/dispmath]
Hm, nešto ne valja.
Logaritam negativne veličine nije definisan. Znači, [inlmath]x=-3[/inlmath] ne može biti rešenje.
Da do ovoga ne bi došlo, potrebno je pre samog rešavanja logaritamske jednačine, da postaviš uslove da ista bude definisana. To znači, da argumenti svih logaritama budu strogo veći od nule, kao i da osnove logaritama budu i strogo veće od nule i različite od jedinice. Pošto su u ovoj jednačini osnove svih logaritama dvojke, ispunjen je uslov da su osnove strogo veće od nule i različite od jedinice. Ali, o uslovu pozitivnosti argumenta logaritma moramo voditi računa. Znači, odmah u startu pišemo uslove:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
x-1>0\\
x+2>0
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\left.\begin{array}{l}
x>1\\
x>-2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\underline{x>1}[/dispmath]
i onda, kad dobiješ rešenja jednačine, usvajaš samo ona rešenja koja zadovoljavaju uslov definisanosti, a to je u ovom slučaju samo [inlmath]x_2=2[/inlmath], dok rešenje [inlmath]x_1=-3[/inlmath] odbacuješ.
Drugim rečima, tražiš presek skupa dobijenih rešenja, [inlmath]\left\{-3,2\right\}[/inlmath], i skupa vrednosti koje zadovoljavaju uslov definisanosti, [inlmath]\left(1,+\infty\right)[/inlmath], pa dobiješ [inlmath]\left\{-3,2\right\}\cap\left(1,+\infty\right)=\left\{2\right\}[/inlmath]
Ako te zbunjuje to kako nas je postupak uopšte mogao dovesti do rešenja koje ne odgovara polaznoj jednačini, u pitanju je sledeći korak:
[dispmath]\log_2\left(x-1\right)+\log_2\left(x+2\right)=2\\
\log_2\left(x^2+x-2\right)=2[/dispmath]
jer smo za slučaj [inlmath]x=-3[/inlmath], množenjem dve negativne veličine, dobili pozitivnu veličinu kao argument novog logaritma i, samim tim, izgubili informaciju o znaku tih prethodnih argumenata logaritama.
Zapravo, formula [inlmath]\log_ca+\log_cb=\log_cab[/inlmath] važi samo uz uslove [inlmath]a,b,c>0,\;c\ne 1[/inlmath]. Prema tome, za [inlmath]x_1=-3[/inlmath] ta formula jednostavno ne bi važila, jer bismo iz nedefinisane veličine odjednom dobili definisanu veličinu.
