Resi nejednacinu:
[dispmath]\frac{x^2-x-2}{x-3}>0[/dispmath]
uslov definisanost [inlmath]x-3\neq 0;\;x\neq 3[/inlmath]
I kao resenje se uzima [inlmath]x\in (-1,2)\cup (3,+\infty)[/inlmath]


Ja sam prvo postavila uslove:
([inlmath]x^2-x-2>0\;\land\;x-3>0[/inlmath])
i dobila
[inlmath]x_1=2[/inlmath]; [inlmath]x_2=-1[/inlmath] i [inlmath]x_3>3[/inlmath]


gde sledi [inlmath]x\in (-1,2)\cup (3,+\infty)[/inlmath]

([inlmath]x^2-x-2<0\;\land\;x-3<0[/inlmath])
[inlmath]x_1=2[/inlmath]; [inlmath]x_2=-1[/inlmath] i [inlmath]x_3<3[/inlmath]


gde sledi [inlmath]x\in (-\infty,-1)\cup (2,3)[/inlmath]
zanima me zasto se zanemaruje drugi uslov?

Prvi način koji si pokazala, preko tabele, sasvim je u redu (mada mi baš nije najjasniji oblik grafika na desnom delu slike, al' dobro). Znači, napišu se intervali pozitivnosti/negativnosti i za brojilac i imenilac i, tamo gde su predznaci isti, u tim intervalima je vrednost razlomka pozitivna. Dobije se [inlmath]x\in (-1,2)\cup (3,+\infty)[/inlmath] i to je tačno rešenje.

---

E sad, što se tiče tvog načina. Posmatramo, dakle, dva slučaja. Jedan slučaj je, da su i brojilac i imenilac pozitivni (tada je vrednost razlomka pozitivna), a drugi slučaj je da su i brojilac i imenilac negativni (tada je vrednost razlomka takođe pozitivna).

U prvom slučaju postavljamo, znači, uslov da su i brojilac i imenilac pozitivni, što si već i uradila:
[inlmath]x^2-x-2>0\;\land\;x-3>0[/inlmath]
To znači da tražiš samo one intervale unutar kojih su i [inlmath]x^2-x-2[/inlmath] i [inlmath]x-3[/inlmath] pozitivni. Prema tome, rešenje za taj prvi slučaj koje si dobila, [inlmath]x\in\left(-1,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)[/inlmath], pogrešno je. Interval [inlmath]\left(-1,2\right)[/inlmath] nikako ne može pripadati skupu rešenja ovog slučaja, jer su u tom intervalu oba izraza – i [inlmath]x^2-x-2[/inlmath] i [inlmath]x-3[/inlmath] – negativni. Rešenje ovog prvog slučaja je samo [inlmath]x\in\left(3,+\infty\right)[/inlmath], jer jedino u tom intervalu oba izraza imaju pozitivnu vrednost.

U drugom slučaju (i brojilac i imenilac negativni) ne valja ti tablica predznaka za izraz [inlmath]x-3[/inlmath]. Levo od trojke treba da su minusi, a desno od trojke plusevi – znači, obrnuto od onog kako si nacrtala. Pošto u ovom slučaju tražiš one intervale u kojima će oba izraza biti negativna, [inlmath]\left(-1,2\right)[/inlmath] je jedini interval u kojem će to biti zadovoljeno. Prema tome, [inlmath]\left(-1,2\right)[/inlmath] je rešenje ovog drugog slučaja.

Na kraju samo nađeš uniju rešenja prvog i drugog slučaja, a to je [inlmath]x\in\left(-1,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)[/inlmath]. Dakle, isti skup rešenja koji se dobije i na onaj prvi način.

uredu za prvi ali mi nije jasno zasto je [inlmath]x-3[/inlmath] na drugom nacinu pogresno,kada je [inlmath]x<3[/inlmath]
jer ako su na tom mestu plusevi,onda su prva i druga slika iste

Prva i druga slika i treba da budu iste. Samo, što kad radiš prvi slučaj, tada posmatraš intervale u kojima oba izraza imaju pluseve, a kad radiš drugi slučaj, tada posmatraš intervale u kojima oba izraza imaju minuse.

Logično: za izraz [inlmath]x-3[/inlmath] uvek levo od trojke treba da stoje minusi, jer je za sve [inlmath]x[/inlmath]-ove manje od trojke izraz [inlmath]x-3[/inlmath] negativan, zar ne?

Mada, ostavljam mogućnost da je možda i nesporazum u pitanju i da ne mislimo na isti način rešavanja? Možda bi zato bilo dobro da malo bolje objasniš način kako si došla do tih crteža i do tih rešenja?

okej kapiram sada,samo sam uvek mislila da treba da se dobiju razlicite slike i da se onda upoređuju resenja
a sto se tice slike (ona prva) je iz neke online prezentacije ,gde je odmah prikazano i resenje nejednacine.
Imam jos jedno pitanje,posto sam radila ovakve zadatke i na drugi nacin (nzm koliko je ispravan,ali sam dobijala tacna resenja)
npr za nejednacinu [inlmath]\frac{x^2-2}{x^2-1}\le 0[/inlmath]
isto postavim uslove ( [inlmath]x^2-2\le 0\;\land\;x^2-1>0[/inlmath] )
[dispmath]x_1\le\sqrt 2\\
x_2\le -\sqrt 2\\
x_3>1\\
x_4>-1[/dispmath]
i
([inlmath]x^2-2\ge 0\;\land\;x^2-1<0[/inlmath])
[dispmath]x_1\ge\sqrt 2\\
x_2\ge -\sqrt 2\\
x_3<1\\
x_4<-1[/dispmath]

jel moze na taj nacin da se resava ili?

Ja u ovom načinu ne vidim nimalo logike. Uočavam nekoliko grešaka, ali su one tako međusobno povezane da se uzajamno potiru, zbog čega se na kraju dobije tačan rezultat – eto, i to u matematici ume da se desi.

Prvo, iz [inlmath]x^2-2\le 0[/inlmath] ne sledi [inlmath]x_1\le\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]x_2\le -\sqrt 2[/inlmath]. Odakle ti to?
[dispmath]x^2-2\le 0\\
x^2\le 2\quad /\sqrt{\phantom{a}}\\
\sqrt{x^2}\le\sqrt 2\\
\left|x\right|\le\sqrt 2\\
\underline{-\sqrt 2\le x\le\sqrt 2}[/dispmath]
Isto tako, iz [inlmath]x^2-1>0[/inlmath] ne sledi [inlmath]x_3>1[/inlmath] i [inlmath]x_4>-1[/inlmath], već sledi [inlmath]x<-1\;\lor\;x>1[/inlmath];
iz [inlmath]x^2-2\ge 0[/inlmath] ne sledi [inlmath]x_1\ge\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]x_2\ge -\sqrt 2[/inlmath], već sledi [inlmath]x\le -\sqrt 2\;\lor\;x\ge\sqrt 2[/inlmath];
iz [inlmath]x^2-1<0[/inlmath] ne sledi [inlmath]x_3<1[/inlmath] i [inlmath]x_4<-1[/inlmath], već sledi [inlmath]-1<x<1[/inlmath].

Ali, čak i kad bismo pretpostavili da je do samog crtanja slike sve bilo u redu, postoji greška i na slici. Ne znam kako si za presek uslova [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath] dobila [inlmath]x\in\left[-\sqrt 2,-1\right)[/inlmath], kada presek intervala [inlmath]\left(-\infty,-\sqrt 2\right][/inlmath] (uslov [inlmath]I[/inlmath]) i intervala [inlmath]\left(-\infty,-1\right)[/inlmath] (uslov [inlmath]IV[/inlmath]) nije [inlmath]\left[-\sqrt 2,-1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left(-\infty,-\sqrt 2\right][/inlmath]?
Slično i za presek uslova [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath]...

I, na osnovu čega si uopšte i zaključila da treba tražiti baš preseke [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath], kao i [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath]?

Molim te, nemoj za konjunkciju (logičko [inlmath]I[/inlmath]) koristiti znak ^. Za to postoji sasvim fina komanda u Latex-u, "\land". Ispravio sam ti.

tek sam sada provalila koliko ne kapiram nejednacine
koristicu ubuduce "\land"

Ne znam kako si za presek uslova [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath] dobila [inlmath]x\in\left[-\sqrt 2,-1\right)[/inlmath], kada presek intervala [inlmath]\left(-\infty,-\sqrt 2\right][/inlmath] (uslov [inlmath]I[/inlmath]) i intervala [inlmath]\left(-\infty,-1\right)[/inlmath] (uslov [inlmath]IV[/inlmath]) nije [inlmath]\left[-\sqrt 2,-1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left(-\infty,-\sqrt 2\right][/inlmath]?
Slično i za presek uslova [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath]...

jer nisam gledala to kao presek,sada ni ja nzm kako sam dosla do toga

I, na osnovu čega si uopšte i zaključila da treba tražiti baš preseke [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath], kao i [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath]?

za ovo znam da sam gledala znakove

Sada me zbunjuje to kako na kraju da izvucem konacno resenje posto mi ni ona slika "+-.png (5.49 KiB)" vise ne izgleda jasno

Posmatraš to sasvim logički. Nejednačina u opštem slučaju glasi [inlmath]\frac{A}{B}<0[/inlmath]. Kada će vrednost razlomka biti negativna? Onda kada su brojilac i imenilac suprotnog znaka. Znači, da bi vrednost razlomka bila negativna, potrebno je ili da bude brojilac pozitivan a imenilac negativan (to zapisuješ [inlmath]A>0\;\land\;B<0[/inlmath]), ili da bude brojilac negativan a imenilac pozitivan (to zapisuješ [inlmath]A<0\;\land\;B>0[/inlmath]). Pošto između ova dva slučaja postoji ILI, to zapisuješ tako da između ova dva uslova stavljaš logičku disjunkciju, tj. znak [inlmath]\lor[/inlmath]:
[dispmath](A>0\;\land\;B<0)\;\lor\;(A<0\;\land\;B>0)[/dispmath] U slučaju nejednačine [inlmath]\frac{A}{B}\le0[/inlmath], sve je isto, samo što brojilac još može biti i nula (imenilac, naravno, u svakom slučaju mora biti različit od nule):
[dispmath](A\ge0\;\land\;B<0)\;\lor\;(A\le0\;\land\;B>0)[/dispmath] Kada između dva iskaza (npr. između [inlmath]A>0[/inlmath] i [inlmath]B<0[/inlmath] stoji znak [inlmath]\land[/inlmath], tada tražiš presek njihovih rešenja – što je i logično, jer to treba da budu ona rešenja koja zadovoljavaju i jedan i drugi iskaz, a to su upravo rešenja koja pripadaju preseku skupova rešenja ta dva iskaza.
Kada između dva iskaza stoji znak [inlmath]\lor[/inlmath], tada tražiš uniju njihovih rešenja.
I to je sve što ti je potrebno da možeš da rešiš nejednačinu s razlomkom.

---

U ovom tvom primeru,
[dispmath]\frac{x^2-2}{x^2-1}\le0[/dispmath] vrednost razlomka je negativna ili nula, znači, brojilac i imenilac treba da su suprotnog znaka. Razmatraš, dakle, dva zasebna slučaja – prvi, da je brojilac pozitivan ili nula a imenilac negativan, i drugi, da je brojilac negativan ili nula a imenilac pozitivan. Na kraju, pošto je potrebno da bude zadovoljen ili jedan ili drugi uslov (logičko ILI, tj. disjunkcija), tražiš uniju ta dva rešenja.

[inlmath]I[/inlmath] slučaj – brojilac pozitivan ili nula, a imenilac negativan:
[dispmath]x^2-2\ge0\;\land\;x^2-1<0\\
x^2\ge2\;\land\;x^2<1\\
\sqrt{x^2}\ge\sqrt2\;\land\;\sqrt{x^2}<\sqrt1\\
|x|\ge\sqrt2\;\land\;|x|<1\\
\left(x\le-\sqrt2\;\lor\;x\ge\sqrt2\right)\;\land\;-1<x<1[/dispmath] Skiciramo to na brojnoj pravoj:


na kojoj vidimo da skup rešenja [inlmath]x\le-\sqrt2\;\lor\;x\ge\sqrt2[/inlmath] i skup rešenja [inlmath]-1<x<1[/inlmath] nemaju presek, tj. njihov presek je prazan skup. To znači da ovaj slučaj, kada je brojilac pozitivan ili nula, a imenilac negativan – nema rešenja.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj – brojilac negativan ili nula, a imenilac pozitivan:
[dispmath]x^2-2\le0\;\land\;x^2-1>0\\
x^2\le2\;\land\;x^2>1\\
\sqrt{x^2}\le\sqrt2\;\land\;\sqrt{x^2}>\sqrt1\\
|x|\le\sqrt2\;\land\;|x|>1\\
-\sqrt2\le x\le\sqrt2\;\land\;(x<-1\;\lor\;x>1)[/dispmath] i to skiciramo:


Prema tome, rešenja [inlmath]II[/inlmath] slučaja (a ujedno i rešenja celog zadatka) jesu:
[dispmath]x\in\left[-\sqrt2,-1\right)\cup\left(1,\sqrt2\right][/dispmath] ili isto to, samo drugačije zapisano,
[dispmath]-\sqrt2\le x<-1\;\lor\;1<x\le\sqrt2[/dispmath] Da su postojala i rešenja [inlmath]I[/inlmath] slučaja, tada bi rešenje zadatka bila unija rešenja [inlmath]I[/inlmath] slučaja i rešenja [inlmath]II[/inlmath] slučaja.

Hvala puno!