Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 12.3.2011. – 3. razred

Bez korištenja kalkulatora odrediti koji je od brojeva [inlmath]\log_23[/inlmath] i [inlmath]\log_34[/inlmath] veći. Ja sam ovo radio ovako.

[inlmath]\log_34[/inlmath] se moze malo srediti.
[dispmath]\log_34=\log_32^2=2\log_32=\frac{2}{\log_23}[/dispmath]
E sada ja sam podjelio ovo na dvije predpostavke!
[dispmath]\log_23>\frac{2}{\log_23}[/dispmath][dispmath]\log_23>\sqrt 2[/dispmath][dispmath]\log_23>\log_22^\sqrt 2[/dispmath][dispmath]3>2^\sqrt 2[/dispmath]
E sada iz cinjenice da je [inlmath]2^{\frac{3}{2}}>2^\sqrt 2[/inlmath] slijedi [dispmath]3>2^{\frac{3}{2}}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{3>2\sqrt 2}[/dispmath]
sto ispada da je tacno

A za drugu predpostavku ide
[dispmath]\log_23<\frac{2}{\log_23}[/dispmath][dispmath]\log_23<\sqrt 2[/dispmath][dispmath]\log_23<\log_22^\sqrt 2[/dispmath][dispmath]\cancelto{x}{3<2^\sqrt 2}[/dispmath]
Ovako sam ja radio i stvarno ne znam da li je ovaj nacin rjesavanja prikladan da li bi se ovo priznalo. Ako neko moze da pogleda i ako ima neki bolji i jednostavniji nacin da se rjesi ovo neka pise !

Ne vidim nijedan razlog zašto ti to ne bi bilo priznato, ja bih takođe radio isto tako kao što si i ti radio.
Trenutno mi i ne pada na pamet neki drugi način.

Ako je tako onda je dobro . Mene jdino sto buni ovde je [inlmath]2^\sqrt2[/inlmath] kako to izracunati mislim da li je uopste moguce meni se nije dalo pa sam moro da uvedem [inlmath]2^{3/2}[/inlmath] jer je vece.

Nema ni potrebe računati [inlmath]2^{\sqrt 2}[/inlmath], logika kojom si išao je sasvim u redu. Imaš još jedan način, kad si došao do koraka [inlmath]3>2^{\sqrt 2}[/inlmath], sada možeš obe strane kvadrirati, pa je to [inlmath]9>2^{2\sqrt 2}[/inlmath], a to lako dokažeš tako što je [inlmath]9>8=2^3=2^{2\cdot\frac{3}{2}}>2^{2\sqrt 2}[/inlmath].

Ako posmatramo funkciju [inlmath]f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\ln x}[/inlmath], iz znaka prvog izvoda mozemo zakljuciti da je funkcija opadajuca, i da je prema tome [inlmath]f(2)>f(3)[/inlmath], i otuda [inlmath]\log_23>\log_34[/inlmath]

Ja baš i razmišljao kako bi se ovo moglo uraditi preko izvoda (po uzoru na ovaj sličan zadatak, koji bih takođe Gammi preporučio da pogleda) i isprobavao sam razne funkcije s logaritmima, al' se nisam bio setio te [inlmath]\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln x}[/inlmath]...

U svakom slucaju hvala Milovane,Ali na zalost jos nisam ucio izvode sada jos malo pa treba da pocnem tako da mi ovo nije jasno