Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 2. razred

Visine [inlmath]AP[/inlmath], [inlmath]BQ[/inlmath] i [inlmath]CR[/inlmath] ostrouglog trougla su simetrale uglova trougla [inlmath]PQR[/inlmath]. Dokazi !

Najvise ovde me zbunjuju oznake.Tako da ne znam da nacrtam ovaj trougao. Da li ostrougli trougao podrazumjeva sve ostre uglove u trouglu? Ovde kaze uglova trougla [inlmath]PQR[/inlmath],ispade da su uglovi obiljezeni velikim slovima jer kaze uglovi a ne ugao. I sta su zapravo tjemena toga trougla [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]? A sta je [inlmath]PQR[/inlmath] ? Samo mi treba skica a ostalo cu ja sam pokusati !

Nacrtas proizvoljni ostrougli trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] (da, to znaci da su svi unutrasnji uglovi ostri). Iz svakog od temena spustis visinu do naspramne stranice, i tacke preseka visina i stranica ce biti [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]. Te tri tacke obrazuju novi trougao – [inlmath]\triangle PQR[/inlmath]. Treba dokazati da su visine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] takodje i simetrale uglova trougla [inlmath]\triangle PQR[/inlmath].

Objasnio si mi pocetak.Ali ponovo mi nije jasno sve. Sada bas ne znam u kojeme programu da narctam neku dobru skicu probavao sam nesto u geogebri ali tu moram sve precizno u kordinate.

Nacrtam ja dva trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle PQR[/inlmath] i zakljucim da postoji tetivni cevorougao oko kojega mogu opisati kurznicu. Jer je [inlmath]\angle APB=\angle AQB=90[/inlmath]. To je talesova teorema. I onda mozemo opisati kurznicu oko cetvorugla [inlmath]ABPQ[/inlmath]. I ja dalje ne razumijem. Treba da ide [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] .Ovo ne mogu da skontam,kako se doslo do ovoga?

Gamma je napisao:Sada bas ne znam u kojeme programu da narctam neku dobru skicu probavao sam nesto u geogebri ali tu moram sve precizno u kordinate.

Ne vidim zašto bi crtanje skice bio neki problem:

Gamma je napisao:Treba da ide [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] .Ovo ne mogu da skontam,kako se doslo do ovoga?

Pretpostavljam da ti je jasno zašto je [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ[/inlmath], to su dva periferna ugla nad zajedničkom tetivom, tetivom [inlmath]AQ[/inlmath]. Ono što mene ovde buni je oznaka [inlmath]\alpha[/inlmath]. Logično bi bilo da ona označava unutrašnji ugao trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] kod temena [inlmath]A[/inlmath], ali tada jednakost [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] u opštem slučaju ne bi važila. Trougao [inlmath]\triangle ABQ[/inlmath] je pravougli s pravim uglom kod temena [inlmath]Q[/inlmath], pa su njegovi uglovi kod temena [inlmath]A[/inlmath] i kod temena [inlmath]B[/inlmath] komplementni:
[dispmath]\angle ABQ=\frac{\pi}{2}-\angle BAQ=\frac{\pi}{2}-\alpha[/dispmath]
Ako bismo [inlmath]\frac{\pi}{2}-\alpha[/inlmath] izjednačili s tim [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] koje su oni napisali, dobili bismo [inlmath]\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i odatle [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath], a to ne bi bio opšti slučaj. Prema tome, ili [inlmath]\alpha[/inlmath] ne označava unutrašnji ugao trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] kod temena [inlmath]A[/inlmath] (nemam ideju koji bi ugao tada mogao [inlmath]\alpha[/inlmath] da označava), ili je u izrazu [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] greška.

Sto se skice tice ja samo znam koristiti geogebru od matematickih programa.Mada ona je vise za analiticku geometriju nego za skice tako da sve moram precizno crtati a to puno traje. U kojeme ovo programu je radjeno Derive? Probacu sa njim... Vec ga upravo skidam.

Nekako bi bilo logicno da je [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao kod tjemena [inlmath]A[/inlmath]. Moguce je cak da je i greska jer u ovim zadacima sto radim primjetio sam dosta gresaka. A to kada kazes za opsti slucaj sta podrazumjevas pod tim? Postoji li ikakva druga kombinacija sa [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath] da se ovo dokaze ?

Geogebra je sasvim pogodna i za običnu geometriju.
Ja sam ovu skicu crtao u programu Paint Shop Pro, moglo bi i u PhotoShopu, al' nekako sam ove skice navikao da radim u Paint Shop Pro-u... Derive koristim kad treba da skiciram grafike funkcija.

Pod opštim slučajem podrazumevam to da će ovo što dokazujemo važiti za bilo koju vrednost ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], a ne za neku konkretnu vrednost. Kada bi [inlmath]\alpha[/inlmath] bilo [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath], to bi bio poseban slučaj, koji u ovom zadatku nije dat.

Bi li te mrzelo da okačiš to njihovo rešenje, da vidimo šta im znači [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Ne bih,vec bih ga okacio da ima nesto korisno u njemu. Evo okacicu, ja stvarno nista ne vidim iz njega.

1) Oko cetvorougla [inlmath]ABPQ[/inlmath] se moze opisati kruznica,jer vazi jednakost periferijskih uglova [inlmath]\angle APB=\angle AQB=90[/inlmath]

2) Zbog toga je [inlmath]\angle APQ=\angle ABQ=\frac{\alpha}{2}[/inlmath]

3) Analogno je [inlmath]\angle APR=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pa je [inlmath]\angle APQ=\angle APR[/inlmath],sto znaci da je [inlmath]AP[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle QPR[/inlmath]

4) Analogno se dokazuje i za ostale dvije visine.Tvrdjenje je dokazano!

Eto,pa pogledaj mozda ce nesto i znaciti.

I šta, nigde u postupku nije objašnjeno šta je [inlmath]\alpha[/inlmath]? Mislim, jasno je da na kraju ispadne da je [inlmath]\alpha =\angle QPR[/inlmath], ali valjda su morali, prilikom uvođenja oznake [inlmath]\alpha[/inlmath], da napomenu kako su je uveli?
Ne, definitivno ne razumem odakle su dobili [inlmath]\angle APR=\frac{\alpha}{2}[/inlmath]. Voleo bih, ako neko to konta, da nam razjasni.

U međuvremenu, pokazao bih svoje rešenje, bez primene Talesove teoreme i tetivnog četvorougla. Radi se preko sličnosti trouglova.


Trouglovi [inlmath]\triangle AQB[/inlmath] i [inlmath]\triangle ARC[/inlmath] su slični, jer je:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\angle BAQ=\angle CAR\:\left(=\alpha\right)\\
\angle AQB=\angle ARC\:\left(=\frac{\pi}{2}\right)
\end{array}\right\}\quad\overset{\mbox{UUU}}{\Longrightarrow}\quad\triangle AQB\sim\triangle ARC[/dispmath]
Iz sličnosti ova dva trougla sledi i proporcionalnost njihovih odgovarajućih stranica:
[dispmath]AQ:AR=AB:AC[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad AQ:AB=AR:AC[/dispmath]
a iz toga sledi i sličnost trouglova [inlmath]\triangle AQR[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
AQ:AB=AR:AC\\
\\
\angle BAC=\angle QAR\:\left(=\alpha\right)
\end{array}\right\}\quad\overset{\mbox{SUS}}{\Longrightarrow}\quad\triangle AQR\sim\triangle ABC[/dispmath]
Na potpuno isti način se može dokazati i da su trouglovi [inlmath]\triangle PBR[/inlmath] i [inlmath]\triangle PQC[/inlmath] slični sa [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a samim tim i da su međusobno slični:
[dispmath]\triangle AQR\sim\triangle PBR\sim\triangle PQC[/dispmath]
Iz sličnosti ovih trouglova slede jednakosti sledećih uglova:
[dispmath]\triangle PBR\sim\triangle PQC\quad\Rightarrow\quad\angle BPR=\angle QPC[/dispmath][dispmath]\triangle PQC\sim\triangle AQR\quad\Rightarrow\quad\angle CQP=\angle RQA[/dispmath][dispmath]\triangle AQR\sim\triangle PBR\quad\Rightarrow\quad\angle ARQ=\angle PRB[/dispmath]
I, na kraju,
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\angle APR=\angle APB-\angle BPR=\frac{\pi}{2}-\angle BPR\\
\angle APQ=\angle APC-\angle QPC=\frac{\pi}{2}-\angle QPC\\
\angle BPR=\angle QPC
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\angle APR=\angle APQ}[/dispmath]
čime je dokazano da je [inlmath]AP[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle QPR[/inlmath].

Na isti način se zatim pokazuje i da je [inlmath]BQ[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle PQR[/inlmath], odnosno da je [inlmath]CR[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle PRQ[/inlmath].

---

I, što se tiče tvog pitanja koji je trougao oštrougli. Svaki trougao mora imati najmanje dva oštra ugla. Ne može imati dva prava ugla, ili dva tupa ugla, ili jedan prav i jedan tup ugao. Znači, postoje samo tri slučaja – jedan ugao tup a dva oštra (tupougli trougao), jedan ugao prav a dva oštra (pravougli trougao) i sva tri oštra ugla (oštrougli trougao).

Kao sto vidis to je sve iz rjesenja. Nije lose ni ovo tvoje rjesenje meni se cini da ti periferijski uglovi nekada mogu mnogo da olaksaju poso.Ovo meni nikada ne bi palo na pamet treba sve ove trouglova povezati cak ima tu dosta i pisati. Pregledao sam ja ovo nema sta,sve mi je ovde jasno.Mada meni ovaj nacin izgleda nekako komplikovano ne za razumjeti vec na onaj fazon uvijek ima neka caka da se nesto dosta skrati.