Dokazati skupovnu jednakost:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Ovaj izraz je tačan ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A[/inlmath]. Kako onda ovo dokazati, kad ovo zavisi od slučaja do slučaja. Ovo nije neka pravilnost. Možda je greška u formulisanju zadatka, ali tekst ovako glasi doslovce.
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ TEORIJA SKUPOVA
Dokazati skupovnu jednakost
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 27 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od ubavic » Nedelja, 23. Novembar 2014, 00:20
Po definiciji preseka, [inlmath]A\cap B=\{x\;|\;x\in A\land x\in B\}[/inlmath], vidimo da će se on sadržati u skupu [inlmath]A[/inlmath] tj. [inlmath]A\cap B\subseteq A[/inlmath]. Unija skupa sa svojim nadskupom je sam nadskup ([inlmath]S\subseteq T\iff S\cup T=T[/inlmath]).
Jednakost koju si naveo ilustruje jedan od zakona apsorpcije.
Može se dokazati i pomoću definicija unije i preseka, uz pomoć zakona apsorpcije logičkih operatora (koji se dokazuje pomoću tabele...).
Jednakost koju si naveo ilustruje jedan od zakona apsorpcije.
Može se dokazati i pomoću definicija unije i preseka, uz pomoć zakona apsorpcije logičkih operatora (koji se dokazuje pomoću tabele...).
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od Daniel » Nedelja, 23. Novembar 2014, 09:45
Kad god te zbunjuju ovakve stvari, uvek nacrtaj Venov dijagram.
Na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen skup [inlmath]A[/inlmath]:
A na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]A\cap B[/inlmath]:
I, više je nego očigledno šta će biti unija žute oblasti na prvoj slici i žute oblasti na drugoj slici
– biće sâm skup [inlmath]A[/inlmath], dabome.
Na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen skup [inlmath]A[/inlmath]:
- skupovi 1.png (757 Bajta) Pogledano 3331 puta
A na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]A\cap B[/inlmath]:
- skupovi 2.png (703 Bajta) Pogledano 3331 puta
I, više je nego očigledno šta će biti unija žute oblasti na prvoj slici i žute oblasti na drugoj slici
– biće sâm skup [inlmath]A[/inlmath], dabome.I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od Miladin Jovic » Nedelja, 23. Novembar 2014, 13:33
Da, video sam i ja da je tako, bezveze sam se zbunio. Nego me interesuje da li može ovako crtežom da se dokaže?
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od Daniel » Nedelja, 23. Novembar 2014, 15:02
Mislim da ne bi bilo priznato. Slika ti samo pomaže da stekneš vizelnu predstavu zašto je to tako, a dokaz se obično zahteva da se izvede iz formalnih definicija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od maxaa » Utorak, 14. Jul 2015, 13:35
Imam slican zadatak. Potrebno je dokazati skupovnu jednakost
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
nisam bas u toku sa materijom, a postavljam pitanje za drugara, pa ako je neko voljan da napise dokaz bio bih zahvalan.
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
nisam bas u toku sa materijom, a postavljam pitanje za drugara, pa ako je neko voljan da napise dokaz bio bih zahvalan.
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Albert Einstein
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od ubavic » Utorak, 14. Jul 2015, 16:06
Slično se i dokazuje (ovo su zaista trivijalni dokazi). Po zakonu distribucije:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup C[/dispmath]
Pošto presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skup [inlmath]C[/inlmath], pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]C\subseteq A[/inlmath]), zaključujemo da važi:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
[dispmath]A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup C[/dispmath]
Pošto presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skup [inlmath]C[/inlmath], pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]C\subseteq A[/inlmath]), zaključujemo da važi:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od maxaa » Utorak, 14. Jul 2015, 16:09
Hvala.
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Albert Einstein
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od desideri » Utorak, 14. Jul 2015, 20:28
Možda nije loše dodati i ovo:
U algebri (posebno Bulovoj algebri (George Boole)) smatra se da su operacije unije i preseka (u anglosaksonskoj literaturi a i u logici poznate kao "cup" i "cap", tj. "šolja" i "kapa") potpuno ravnopravne, a to znači da prolazi kako presek kroz uniju (u zagradi), tako i obrnuto. Oba navedena iskaza:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath][dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
poznati su odvajkada. Kao što reče Ubavic, kaže se apsorpcija za ovo. U tesnoj vezi s navedenim je i osobina idempotentnosti (ista moć):
[dispmath]A\cup A=A[/dispmath][dispmath]A\cap A=A[/dispmath]
U algebri (posebno Bulovoj algebri (George Boole)) smatra se da su operacije unije i preseka (u anglosaksonskoj literaturi a i u logici poznate kao "cup" i "cap", tj. "šolja" i "kapa") potpuno ravnopravne, a to znači da prolazi kako presek kroz uniju (u zagradi), tako i obrnuto. Oba navedena iskaza:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath][dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
poznati su odvajkada. Kao što reče Ubavic, kaže se apsorpcija za ovo. U tesnoj vezi s navedenim je i osobina idempotentnosti (ista moć):
[dispmath]A\cup A=A[/dispmath][dispmath]A\cap A=A[/dispmath]
Re: Dokazati skupovnu jednakost
od Trougao » Sreda, 15. Jul 2015, 23:52
Mi smo u skoli to dokazivali preko istinitosnih tablica.
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Pa sada na osnovu definicja preseka i unije imamo:
[dispmath]x\in A\;\lor\;(x\in A\;\land\;x\in B)\;\iff\;x\in A[/dispmath]
I sad stavimo [inlmath]p=x\in A,\;q=x\in B[/inlmath]
[dispmath]p\;\lor\;(p\;\land\;q)\;\iff\;p[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{cc|ccc@{}ccc@{}ccc}
p & q & p & \lor & ( & p & \land & q &) & \leftrightarrow & p\\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & & \mathbf{1} & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 1 & & \mathbf{1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 0
\end{array}[/dispmath]
I vidimo da se ispod [inlmath]\iff[/inlmath] javljaju sve vrednosti kao tacne, pa zakljucujemo da formula uvek vazi.
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Pa sada na osnovu definicja preseka i unije imamo:
[dispmath]x\in A\;\lor\;(x\in A\;\land\;x\in B)\;\iff\;x\in A[/dispmath]
I sad stavimo [inlmath]p=x\in A,\;q=x\in B[/inlmath]
[dispmath]p\;\lor\;(p\;\land\;q)\;\iff\;p[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{cc|ccc@{}ccc@{}ccc}
p & q & p & \lor & ( & p & \land & q &) & \leftrightarrow & p\\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & & \mathbf{1} & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 1 & & \mathbf{1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 0
\end{array}[/dispmath]
I vidimo da se ispod [inlmath]\iff[/inlmath] javljaju sve vrednosti kao tacne, pa zakljucujemo da formula uvek vazi.
27 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju