Pokazaću ti kako da kreneš, tj. kako da nađeš tačku na hiperboli koja je najbliža pravoj.

Kao što sam napisao, potrebno je da pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] transliraš tako da ona dodirne hiperbolu [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Translirana prava, pošto je paralelna originalnoj, mora imati isti koeficijent pravca kao i originalna. Koeficijent pravca originalne prave odredimo tako što originalnu pravu napišemo u eksplicitnom obliku:
[dispmath]2x+y+2=0\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-2\quad\Longrightarrow\quad\underline{k=-2}[/dispmath] Znači, jednačina translirane prave biće oblika
[dispmath]y=-2x+n[/dispmath] Potrebno je odrediti slobodan član [inlmath]n[/inlmath] tako da ta translirana prava dodiruje hiperbolu, tj. da ta prava i hiperbola imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku.
To znači da, kad uvrstimo [inlmath]y=-2x+n[/inlmath] u jednačinu hiperbole i dobijemo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], potrebno je da ta jednačina ima jedno i samo jedno rešenje:
[dispmath]7x^2-4(-2x+n)^2=28\\
7x^2-4\left(4x^2-4nx+n^2\right)-28=0\\
7x^2-16x^2+16nx-4n^2-28=0\\
-9x^2+16nx-4\left(n^2+7\right)=0[/dispmath] Ova kvadratna jednačina će imati jedno i samo jedno rešenje onda kada joj je diskriminanta jednaka nuli:
[dispmath]\left.D=(16n)^2-4\cdot9\cdot4\left(n^2+7\right)=0\quad\right/:16\\
16n^2-9n^2-63=0\\
7n^2=63\\
n^2=9\\
n=\pm3[/dispmath] Znači, postojaće dve prave paralelne pravoj [inlmath]p[/inlmath] koje će dodirivati hiperbolu – jedna prava dodiruje jedan krak hiperbole, a druga prava drugi krak hiperbole. Biramo onu pravu koja je bliža pravoj [inlmath]p[/inlmath].
Jednačina prave [inlmath]p[/inlmath] u eksplicitnom obliku je, kako sam već napisao, [inlmath]y=-2x-2[/inlmath], tj. slobodan član je jednak [inlmath]-2[/inlmath]. Od ove dve translirane prave, pravoj [inlmath]p[/inlmath] će biti bliža ona čiji je slobodan član bliži slobodnom članu prave [inlmath]p[/inlmath], tj. bliži broju [inlmath]-2[/inlmath]. Prema tome, to je ona prava čiji je slobodan član jednak [inlmath]-3[/inlmath]. Znači, dobili smo jednačinu translirane prave koja glasi [inlmath]y=-2x-3[/inlmath].

Sada je potrebno da nađeš dodirnu tačku translirane prave [inlmath]y=-2x-3[/inlmath] i hiperbole [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Uvrstiš, dakle, [inlmath]y=-2x-3[/inlmath] u jednačinu hiperbole i rešiš kvadratnu jednačinu (dobićeš jedno rešenje, zbog prethodno postavljenog uslova da je diskriminanta te kvadratne jednačine jednaka nuli). Rešenje će biti [inlmath]x[/inlmath]-koordinata dodirne tačke. Odrediš zatim i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu.

Da li bi umeo sad da kroz tu tačku postaviš pravu normalnu na pravu [inlmath]p[/inlmath]? Uslov normalnosti je da njen koeficijent pravca bude jednak negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca prave [inlmath]p[/inlmath]...