Sinisa je napisao:kada dobijes kvadratnu jednacinu izracunaj njenu determinantu

andrijana_ je napisao:Dobijam da je determinanta [inlmath]-32a+48[/inlmath]

Da ne bude zabune – diskriminanta.

Gamma je napisao:Mogu se ove jednačine sa parametrom i raditi grafički.U nekim slučajevima je dosta lakše tako. Evo sad ovde u drugoj funkciji [inlmath]a[/inlmath] ti predstavlja odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi.Nacrtaš dvije funkcije i to je to.

Po meni, najelegantniji način. Samo bih ja tu sliku nacrtao malo preciznije:


Dakle, s promenom parametra [inlmath]a[/inlmath], ova plava kriva, [inlmath]-\frac{x}{2}+a[/inlmath], translira se u vertikalnom pravcu, i to: kako se [inlmath]a[/inlmath] smanjuje, plava kriva se translira prema dole, a s porastom [inlmath]a[/inlmath] plava kriva se translira prema gore.

Zadata jednačina će imati dva različita rešenja onda i samo onda kada plava i crvena kriva sa grafika imaju tačno dve presečne tačke. Dakle, pitanje se svodi na to kako treba translirati plavu krivu (tj. kako promeniti parametar [inlmath]a[/inlmath]) da bi plava i crvena kriva imale tačno dve presečne tačke.

Da bi to bilo zadovoljeno, plava kriva s prethodnog grafika treba da se nalazi u svetloplavom pojasu prikazanom na sledećem grafiku:


Što se granica ovog pojasa tiče, plava kriva se može poklopiti s granicom [inlmath]-\frac{x}{2}+a_1[/inlmath], jer i u tom slučaju postoje dve presečne tačke (jedna od njih je [inlmath]\left(2,0\right)[/inlmath]), dok se ne sme poklopiti s granicom [inlmath]-\frac{x}{2}+a_2[/inlmath] (jer bi se tada plava i crvena kriva dodirivale, tj. imale bi samo jednu zajedničku tačku). Dakle, mora važiti [inlmath]a_1\le a<a_2[/inlmath].

[inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]a_2[/inlmath] se lako određuju. Pošto tačka [inlmath]\left(2,0\right)[/inlmath] pripada pravoj [inlmath]-\frac{x}{2}+a_1[/inlmath], uvrstimo njene koordinate u jednačinu te prave:
[dispmath]y=-\frac{x}{2}+a_1[/dispmath][dispmath]0=-\frac{2}{2}+a_1[/dispmath][dispmath]0=-1+a_1[/dispmath][dispmath]\underline{a_1=1}[/dispmath]
[inlmath]a_2[/inlmath] se dobije iz uslova da se krive [inlmath]\sqrt{2-x}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{x}{2}+a_2[/inlmath] dodiruju, što znači da diskriminanta kvadratne jednačine koja će se dobiti izjednačavanjem ta dva izraza mora biti nula... I dobije se da je [inlmath]a_2=\frac{3}{2}[/inlmath].
Na kraju iz [inlmath]a_1\le a<a_2[/inlmath] sledi
[dispmath]1\le a<\frac{3}{2}[/dispmath]

Sinisa je napisao:[inlmath]x\le2a\\
x\le2[/inlmath]
iz ovoga ti slijedi da je [inlmath]a\ge1[/inlmath]

Ne mora značiti. Evo ti kontraprimer: [inlmath]x\le0,\;a=\frac{1}{2}[/inlmath]. Ovo zadovoljava i uslov [inlmath]x\le2a[/inlmath] i uslov [inlmath]x\le2[/inlmath], ali ipak ne važi da je [inlmath]a\ge1[/inlmath].
Da ne bude zabune, u zadatku se zaista dobije da je [inlmath]a\ge1[/inlmath], ali to ne sledi iz ova dva uslova koja si naveo.
Ova dva uslova nam ništa ne govore o intervalu u kojem se parametar [inlmath]a[/inlmath] mora nalaziti.

Skroz sam prolupala - "determinanta"
Kako onda da odredim da je [inlmath]a\ge1[/inlmath], a da nije preko grafika?
I, imam jos jedno pitanjce: Kako definisem uslov kod iracionalne jednacine ako se radi o trećem korenu, npr [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath]?

cim [inlmath]a[/inlmath] bude manje od [inlmath]1[/inlmath] i sam interval [inlmath]x[/inlmath] se smanjuje... u slucaju kada je [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath] tada [inlmath]x[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]1[/inlmath]... itd... ali desna strana nema granica vec samo lijeva gdje [inlmath]x[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]2[/inlmath]... tako da je cilj da se nepravi takvo [inlmath]a[/inlmath] gdje ce ovaj skup [inlmath]x<2[/inlmath] biti podskup skupa [inlmath]x<2a[/inlmath] a to se moze postici samo kada je [inlmath]a>1[/inlmath]...

ako stavis da je [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath] znaci da je [inlmath]x<1[/inlmath], a imas tacno rjesenje za [inlmath]x=1.5[/inlmath] ili neko [inlmath]x[/inlmath] iz intervala [inlmath](1;2)[/inlmath]

[dispmath]\sqrt{9-4x}=p-2x[/dispmath]
jednacina ima tacno dva realna i razlicita resenja ako i samo ako realan parametar [inlmath]p[/inlmath] pripada.... pa su dati neki intervali, a resenje je [inlmath]\left[\frac{9}{2},5\right)[/inlmath]
zadatak slican kao prethodni, al' ja se nikako ne snalazim sa ovim stvarima

ja bih to uradio na sledeci nacin...

dobijes da obije strane moraju biti pozitivna

lijeva ce biti pozitivna ako je [inlmath]x\le\frac{9}{4}[/inlmath]

a desna strana ce biti pozitivna ako je [inlmath]x\le\frac{p}{2}[/inlmath]

sada kako bi napravio istu stvar sto sam malopre objasnio(ova lijeva strana je pozitivna u odredjenom intervalu a lijeva u intervalu koji zavisi o [inlmath]p[/inlmath] tako da ce ovaj prvi interval biti podskup skupa drugog intervala... sto znaci da ce vaziti sledece) [inlmath]\frac{p}{2}\ge\frac{9}{4}[/inlmath]

odavde ces dobiti da je [inlmath]p\ge\frac{9}{2}[/inlmath]

kasnije ovo mozes pretvoriti u kvadratnu jednacinu i razmatrati u kojem intervalu [inlmath]p[/inlmath] je diskriminanta pozitivna, [inlmath]D>0[/inlmath]

i to bi bilo to... ili mozes ovo uraditi graficki(mi nikada ovakve jednacine nismo rijesavali graficki pa je to meni tezi nacin, iako je vecini laksi )

Sinisa je napisao:cim [inlmath]a[/inlmath] bude manje od [inlmath]1[/inlmath] i sam interval [inlmath]x[/inlmath] se smanjuje...

To nije sporno.

Sinisa je napisao:u slucaju kada je [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath] tada [inlmath]x[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]1[/inlmath]... itd...

Doduše, mora biti manje ili jednako [inlmath]1[/inlmath], al' dobro...

Sinisa je napisao:ali desna strana nema granica vec samo lijeva gdje [inlmath]x[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]2[/inlmath]...

I s ovim se slažem... (manje ili jednako [inlmath]2[/inlmath])

Sinisa je napisao:tako da je cilj da se nepravi takvo [inlmath]a[/inlmath] gdje ce ovaj skup [inlmath]x<2[/inlmath] biti podskup skupa [inlmath]x<2a[/inlmath] a to se moze postici samo kada je [inlmath]a>1[/inlmath]...

E, ovo me interesuje. Na osnovu čega si zaključio da nam je to cilj? Zašto ne dopuštaš mogućnost da [inlmath]a[/inlmath] ima takve vrednosti za koje će važiti obrnuto, tj. za koje će [inlmath]x\le2a[/inlmath] biti podskup skupa [inlmath]x\le2[/inlmath]?
Da naglasim, sad trenutno ne gledamo ostatak zadatka. Gledamo isključivo te dve nejednačine, [inlmath]x\le2a[/inlmath] i [inlmath]x\le2[/inlmath].

---

andrijana_ je napisao:Kako onda da odredim da je [inlmath]a\ge1[/inlmath], a da nije preko grafika?

A šta fali ovom rešenju s grafikom?
Možeš i bez grafika – znači, prvo postaviš ove uslove koje ti je Siniša napisao,

Sinisa je napisao:[inlmath]x\le2a\\
x\le2[/inlmath]

Zatim kvadriraš obe strane jednačine, dobiješ neku kvadratnu jednačinu čija će rešenja biti
[dispmath]x_{1,2}=2\left(a-1\right)\pm2\sqrt{3-2a}[/dispmath]
Odatle odmah vidiš da, pošto diskriminanta mora biti strogo veća od nule (kako bi rešenja bila realna i različita), mora biti [inlmath]a<\frac{3}{2}[/inlmath].
Zatim razmatraš odvojeno slučajeve:

[inlmath]1^\circ\quad\underline{a<1}\quad[/inlmath] tada je uslov [inlmath]x\le2a[/inlmath] „jači“ od uslova [inlmath]x\le2[/inlmath], pa posmatramo samo taj uslov; dakle, [inlmath]x\le2a[/inlmath]. Oba rešenja će biti [inlmath]\le2a[/inlmath] onda kada je veće rešenje [inlmath]\le2a[/inlmath]:
[dispmath]x_{1,2}=2\left(a-1\right)+2\sqrt{3-2a}\le2a[/dispmath]
Nađeš koja rešenja ove nejednačine zadovoljavaju uslov ovog slučaja, [inlmath]a<1[/inlmath].

[inlmath]2^\circ\quad\underline{1\le a<\frac{3}{2}}\quad[/inlmath] tada je uslov [inlmath]x\le2[/inlmath] „jači“ od uslova [inlmath]x\le2a[/inlmath], pa posmatramo samo taj uslov; dakle, [inlmath]x\le2[/inlmath]. Oba rešenja će biti [inlmath]\le2[/inlmath] onda kada je veće rešenje [inlmath]\le2[/inlmath]:
[dispmath]x_{1,2}=2\left(a-1\right)+2\sqrt{3-2a}\le2[/dispmath]
Isto kao i za [inlmath]1^\circ[/inlmath] slučaj, nađeš koja rešenja ove nejednačine zadovoljavaju uslov ovog slučaja, [inlmath]1\le a<\frac{3}{2}[/inlmath].

Na kraju nađeš uniju rešenja [inlmath]1^\circ[/inlmath] i [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučaja i dobićeš interval [inlmath]\left[1,\frac{3}{2}\right)[/inlmath].

andrijana_ je napisao:I, imam jos jedno pitanjce: Kako definisem uslov kod iracionalne jednacine ako se radi o trećem korenu, npr [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath]?

Kad su neparni koreni u pitanju, nemaš nikakav uslov, budući da su neparni koreni definisani i za pozitivne i za negativne brojeve. Uslov postavljaš samo onda kad imaš parni koren, da je potkorena veličina [inlmath]\ge0[/inlmath].

---

@zlatna ribica Molim te, hajde da ne prenatrpavamo već ionako prenatrpanu temu još jednim zadatkom koji se radi po potpuno istom principu kao i prethodni. Ako razumeš postupak za Andrijanin zadatak, neće ti biti nikakav problem da uradiš ni svoj zadatak.

Radi održavanja kolike-tolike preglednosti ove teme, uklonio sam postove koji se odnose na ovaj drugi zadatak, budući da je potpuno isti kao i prethodni, samo s drugim brojnim vrednostima.
Rešavanje tog zadatka se svodi na bilo koji od ona dva postupka (grafički ili analitički), za koje sam dao prilično detaljna objašnjenja.
Molim vas za razumevanje.

mislim da je to objasnjeno na malo komplikovaniji nacin

strana gdje je parametra je pozitivna za bilo koju vrijednost nepoznate uz odgovarajucu vrijednost tog parametra... sto znaci da ce taj skup vrijednosti nepoznate [inlmath]x[/inlmath] biti siri od onog skupa vrijednosti nepoznate druge strane(strane gdje se ne nalazi parametar)

pa je i cilj odrediti vrijednosti parametra za koje ce skup vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] (strane gdje nema parametra) biti podskup skupa vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] strane gdje se nalazi parametar

Ma ne fali nista grafičkom načinu rešavanja, ali meni to i nije baš jača strana, pa kad god mogu ja je izbegavam. Hvala ti na iscrpnom i preciznom objašnjenju kao i uvek; i Siniši takođe.

@Sinisa
Vrtimo se u krug... Nisi mi objasnio ono što sam pitao, a to je na osnovu čega zaključuješ da će skup vrednosti nepoznate [inlmath]x[/inlmath] na desnoj strani biti širi od skupa vrednosti [inlmath]x[/inlmath] na levoj strani.

Ja sam od sinoć pročitao tu rečenicu bar dvadesetak puta, pokušavajući da je interpretiram na svakojake načine, ali logiku nisam pronašao.

Zatim sam uzeo neki najopštiji oblik ove nejednačine, [inlmath]\sqrt{a-bx}=p-cx[/inlmath], i stvarno se ovim tvojim postupkom dobije isto rešenje za parametar [inlmath]p[/inlmath] kao i kad se radi na standardni analitički način koji sam gore opisao. To, naravno, još uvek nije dokaz da je tvoj rezon ispravan, nego samo ostavlja mogućnost da možda jeste ispravan (tj. da se nije samo pukom slučajnošću tako potrefilo). I u tom slučaju je velika šteta što ne želiš da se potrudiš da to malo bolje objasniš, jer bi taj rezon, ako je ispravan, mogao biti vrlo zanimljiv.

Dok to ne razjasnimo, ja ipak ne bih ljudima preporučio da zadatak rade na taj način koji si pokazao, ako ga nisu sasvim razumeli (kao što ja nisam), da se ne bi desilo da im postupak, uprkos tačnom rešenju, ne bude priznat od strane profesora.
A ako je neko ovaj postupak razumeo, bilo bi lepo da se javi i da pokuša da ga objasni svojim rečima.