ah nije bitno, prevideo sam [inlmath]\cos\left(\sqrt x\right)[/inlmath] xD
ako je nekome potrebno, prvo se racionalise i onda se iskoristi [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}[/inlmath] analogno i za [inlmath]1-\cos\sqrt{x}[/inlmath] i dobije se da je polazni limes jednak nuli.

Evo ja sam pokušavao da ga racionališem ali dalje ne znam.Zapravo kako da ga svedem na taj tvoj limes? Jesi li uvodio ikakvu smjenu ?
[dispmath]\lim_{x\to0+}\frac{\left(1-\sqrt{\cos{x}}\right)\left(1+\cos\sqrt x\right)}{1-\cos^2\sqrt{x}}[/dispmath]

[dispmath]\lim_{x\to0+}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}=\lim_{x\to0+}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}\frac{1+\sqrt{\cos{x}}}{1+\sqrt{\cos{x}}}=\\
=\lim_{x\to0+}\frac{1-\cos x}{\left(1-\cos\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}=\lim_{x\to0+}\frac{x\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{1-\cos\sqrt{x}}{x}\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}[/dispmath]
kao sto rekoh gore:

GGS je napisao:iskoristi se [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}[/inlmath]

a drugi:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{2}[/dispmath]
kad odradimo sve dobija se:
[dispmath]\frac{0\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}=0[/dispmath]

Kada si rekao racionalizacija mislim da se nisi precizno izrazio.Koliko ja znam nas su u školi učili da racionalizacija podrazumjeva osobađanje korijen iz nazivnika.Ipak je riječ o običnom proširivanju.Naravno sada mi je jasno.

[dispmath]\lim_{n\to\infty}\,n^2\Bigg(e^{\frac{1}{n^2}}-\cos^{\sqrt2}\left(\frac{1}{n}\right)\Bigg)=L[/dispmath]
Resenje:

Ovaj zadatak je najlakse raditi preko razvoja:
[dispmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)\;(x\to0)[/dispmath][dispmath]\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left(x^{2n}\right)\;(x\to0)[/dispmath][dispmath](x+1)^m=1+mx+\frac{m(m-1)x^2}{2!}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}+o\left(x^n\right)\;(x\to0)[/dispmath]
[inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath] mozemo da koristimo u prethodnim "formulama" umesto [inlmath]x[/inlmath], posto [inlmath]\frac{1}{n}\to0\;(n\to\infty)[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{n^2}\to0\;(n\to\infty)[/inlmath]. Iz prethodnog imamo:
[dispmath]e^{\frac{1}{n^2}}=1+\frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\;(n\to\infty)[/dispmath][dispmath]\cos\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\;(n\to\infty)[/dispmath][dispmath]\cos^{\sqrt2}\left(\frac{1}{n}\right)=\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^{\sqrt2}=1-\frac{\sqrt2}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\;(n\to\infty)[/dispmath]
Konacno,
[dispmath]L=\lim_{n\to\infty}\,n^2\left(1+\frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)-\Bigg(1-\frac{\sqrt2}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\Bigg)\right)[/dispmath][dispmath]L=\lim_{n\to\infty}\,n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac{\sqrt2}{2n^2}\right)=\lim_{n\to\infty}\,\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]

Napravio sam tri greske, umesto [inlmath](x\to\infty)[/inlmath] treba [inlmath](n\to\infty)[/inlmath].

apples je napisao:Napravio sam tri greske, umesto [inlmath](x\to\infty)[/inlmath] treba [inlmath](n\to\infty)[/inlmath].

To je totalno nebitno, nisu ti to nikakve greške. Da budem precizniji, to svi pravi profesori tolerišu.
Drugo mene zanima:

apples je napisao:Ovaj zadatak je najlakse raditi preko razvoja:

Zar nije lakše uraditi ga Lopitalovim pravilom (L'Hospital) svođenjem na "[inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]"

Da se ispravim, umesto "najlakse" -> meni najlakse.
Iskreno prva ideja mi je bila koriscenje razvoja, mala verovatnoca za pravljenje greske (makar se meni tako cini).

Postovani forumasi,

Imam jedno pitanje koje ne mogu da resim. Da li mozete da mi pomognete sa sledecim zadatkom>> Treba ga resiti preko Heine sequence approach, jer LHospital ne moze da izracuna

\lim_{x\to\m\infty}\frac{x^2-\cos pi\x}{x^2+\sin 2pi\x}

Pozdrav

Iskreno, nije mi poznat pojam Heine sequence approach. Međutim, koliko mogu da odavde nazirem kako bi taj zadati limes možda trebalo da glasi, čini mi se da bi bilo dovoljno brojilac i imenilac podeliti sa [inlmath]x^2[/inlmath].
Ali, da ne bismo nagađali kako taj limes glasi, molim te, napiši ga onako kako treba. Uputstvo za Latex imaš ovde.