[dispmath]\sin x+\cos x=\frac{3}{2}[/dispmath]
Da li neko zna pocetni korak u resavanju ove jednacine? Znam kako da resim kada na primer imam nula ili jedan, ali ovo sa [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ne znam kako da zapocnem...
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ TRIGONOMETRIJA
Trigonometrijska jednacina
Re: Trigonometrijska jednacina
od Nedzada » Subota, 23. Maj 2015, 15:57
Da li može pomoć za rješavanje ove jednačine:
[dispmath]5\cdot\sin^2x+2\cdot\sin x\cdot\cos x+2\cdot\cos^2x=2[/dispmath]
Pokušavala sam je riješiti dijeleći sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] kako bi je svela na oblik:
[dispmath]A\cdot\mathrm{tg}^2x+B\cdot\mathrm{tg}\:x+C=0[/dispmath]
jer ovdje ide smjena
ali na desnoj strani dobijem [inlmath]\frac{2}{\cos^2x}[/inlmath] pa ne znam kako to da riješim.
Hvala unaprijed.
[dispmath]5\cdot\sin^2x+2\cdot\sin x\cdot\cos x+2\cdot\cos^2x=2[/dispmath]
Pokušavala sam je riješiti dijeleći sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] kako bi je svela na oblik:
[dispmath]A\cdot\mathrm{tg}^2x+B\cdot\mathrm{tg}\:x+C=0[/dispmath]
jer ovdje ide smjena
ali na desnoj strani dobijem [inlmath]\frac{2}{\cos^2x}[/inlmath] pa ne znam kako to da riješim.
Hvala unaprijed.
- Postovi: 6
- Zahvalio se: 10 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Trigonometrijska jednacina
od Gamma » Subota, 23. Maj 2015, 16:53
Treba da svedeš sve na dvostruki ugao.
[dispmath]2\sin2x-3\cos2x+3=0[/dispmath]
Pa kvadriranjem svedeš sve na istu trigonometrijsku funkciju i uvedeš smjenu [inlmath]t=\cos2x[/inlmath]
[dispmath]13t^2-18t+5=0[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi,\;x=\pm\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[dispmath]2\sin2x-3\cos2x+3=0[/dispmath]
Pa kvadriranjem svedeš sve na istu trigonometrijsku funkciju i uvedeš smjenu [inlmath]t=\cos2x[/inlmath]
[dispmath]13t^2-18t+5=0[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi,\;x=\pm\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Re: Trigonometrijska jednacina
od Nedzada » Subota, 23. Maj 2015, 18:28
Oprosti baš sam dosadna 
, ali ne mogu doći do ovog izraza:
[dispmath]2\sin2x-3\cos2x+3=0[/dispmath]
Možeš li mi malo to pojasniti?
, ali ne mogu doći do ovog izraza:[dispmath]2\sin2x-3\cos2x+3=0[/dispmath]
Možeš li mi malo to pojasniti?
- Postovi: 6
- Zahvalio se: 10 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Trigonometrijska jednacina
od Daniel » Subota, 23. Maj 2015, 20:38
Gamma je napisao:Pa kvadriranjem svedeš sve na istu trigonometrijsku funkciju
S kvadriranjem treba biti vrlo oprezan, jer kad kvadriramo gubimo informaciju o znaku. Konkretno:
[dispmath]2\sin2x=3\cos2x-3[/dispmath][dispmath]2\sin2x=3\left(\cos2x-1\right)[/dispmath]
Sada, pre kvadriranja, moramo postaviti uslov. Pošto je [inlmath]\cos2x\le1[/inlmath], sledi [inlmath]\cos2x-1\le0[/inlmath] iz čega sledi da je desna strana [inlmath]\le0[/inlmath]. Samim tim, i leva strana mora biti [inlmath]\le0[/inlmath], tj. [inlmath]\underline{\sin2x\le0}[/inlmath].
E, tek uz ovaj uslov smemo da kvadriramo.
Zbog tog uslova na kraju otpada rešenje [inlmath]x=\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+k\pi[/inlmath] i ostaje samo
[dispmath]x=k\pi,\;x=-\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Po meni, jednostavniji način bi bio da se dvojka na desnoj strani polazne jednačine pomnoži sa [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)[/inlmath]:
[dispmath]5\sin^2x+2\sin x\cos x+2\cos^2x=2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Trigonometrijska jednacina
od Gamma » Subota, 23. Maj 2015, 20:47
U pravu si. Postavio sam u svesci taj uslov [inlmath]\sin 2x\le0[/inlmath]. Ali nisam izbacio to zadnje rješenje. Možda sam malo bez potrebe zakomplikovao ali neka imamo i to rješenje.
Re: Trigonometrijska jednacina
od Gamma » Nedelja, 24. Maj 2015, 00:42
Daniel je napisao:Po meni, jednostavniji način bi bio da se dvojka na desnoj strani polazne jednačine pomnoži sa [inlmath]\left(\sin^22x+\cos^22x\right)[/inlmath]:
Nije mi ovo jasno, kada to uradim i sve svedem na [inlmath]x[/inlmath] dobijem četvrte stepene i sve se zakomplikuje. Ako možeš samo da mi kažeš šta na kraju treba da se dobije. Trigonometrijska funkcija u kojoj firguriše [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]2x[/inlmath]?
Evo imam još jedan način rješavanja ali ipak jednostavniji
Ne znam kako mi ranije nije pao na pamet.[dispmath]5\sin^2x+2\sin x\cos x+2\cos^2x-2=0[/dispmath][dispmath]5\sin^2x+2\sin x\cos x+2\left(1-\sin^2x\right)-2=0[/dispmath][dispmath]5\sin^2x+2\sin x\cos x\cancel{+2}-2\sin^2x\cancel{-2}=0[/dispmath][dispmath]3\sin^2x+2\sin x\cos x=0[/dispmath][dispmath]\sin x(3\sin x+2\cos x)=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;3\sin x+2\cos x=0\;/:\cos x[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;\mathrm{tg}\:x=-\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=k\pi},\;\enclose{box}{x=\mathrm{arctg}-\frac{2}{3}+k\pi},\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Re: Trigonometrijska jednacina
od Daniel » Nedelja, 24. Maj 2015, 01:07
Gamma je napisao:Daniel je napisao:Po meni, jednostavniji način bi bio da se dvojka na desnoj strani polazne jednačine pomnoži sa [inlmath]\left(\sin^22x+\cos^22x\right)[/inlmath]:
Nije mi ovo jasno, kada to uradim i sve svedem na [inlmath]x[/inlmath] dobijem četvrte stepene i sve se zakomplikuje. Ako možeš samo da mi kažeš šta na kraju treba da se dobije. Trigonometrijska funkcija u kojoj firguriše [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]2x[/inlmath]?
Da, sorry, moja greška, hteo sam da napišem [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)[/inlmath], dakle bez tih dvostrukih uglova. Ispravio sam svoj post da ne zbunjuje ljude. Hvala na opažanju.
Taj postupak je, zapravo, vrlo sličan ovom tvom drugom postupku, koji si upravo pokazao.
Gamma je napisao:[dispmath]\enclose{box}{x=\mathrm{arctg}-\frac{2}{3}+k\pi}[/dispmath]
Kad imaš minus u argumentu arkus tangensa, treba ga pisati u zagradi: [inlmath]x=\mathrm{arctg}\left(-\frac{2}{3}\right)+k\pi[/inlmath]. Ili, još bolje, pošto je arkus tangens neparna funkcija, tj. [inlmath]\mathrm{arctg}\left(-x\right)=-\mathrm{arctg}\:x[/inlmath], možemo minus izvući i ispred arkus tangensa: [inlmath]x=-\mathrm{arctg}\:\frac{2}{3}+k\pi[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
14 Posta
• Stranica 1 od 2 • 1, 2
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 1 gost