OK, aj'mo postupno.
Prvo, sad sam bacio pogled na
ovaj svoj post i video da sam,
greškom, napisao
Daniel je napisao:[dispmath]\left(e^{2x}-4>0\quad\land\quad e^x-1>0\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}-4<0\quad\land\quad e^x-1<0\right)[/dispmath]
pa rešavaš posebno za svaki od ova dva slučaja i na kraju nađeš njihov presek.
Ne, ne treba presek, već unija.
Izvini zbog ove zabune. Čim se pojavljuje znak [inlmath]\lor[/inlmath] (logičko ILI), to znači da se traži unija, a ne presek. Sigurno te je to zbunilo.
Tamo gde se pojavljuje znak [inlmath]\land[/inlmath] (logičko I), e tu se traži presek.
Idemo sad od samog početka, korak po korak.
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}[/dispmath]
Dakle, prvo posmatramo razlomke, ako ih ima, i proveravamo da li su njihovi imenioci različiti od nule. U ovom slučaju u imeniocu imamo [inlmath]e^x-1[/inlmath].
[dispmath]e^x-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad e^x\ne 1\quad\Rightarrow\quad\underline{x\ne 0}[/dispmath]
Zatim posmatramo argument logaritma, koji mora biti strogo veći od nule:
[dispmath]\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}>0[/dispmath]
On će biti veći od nule onda kada su i brojilac i imenilac različiti od nule a istog znaka (tj. ili oba pozitivna, ili oba negativna).
[dispmath]\left(e^{2x}-4>0\quad\land\quad e^x-1>0\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}-4<0\quad\land\quad e^x-1<0\right)\\
\left(e^{2x}>4\quad\land\quad e^x>1\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}<4\quad\land\quad e^x<1\right)\\
\left(2x>\ln 4\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<\ln 4\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(2x>\ln 2^2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<\ln 2^2\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(2x>2\ln 2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<2\ln 2\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(x>\ln 2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(x<\ln 2\quad\land\quad x<0\right)[/dispmath]
Sada, kao što smo rekli, tamo gde se pojavljuje [inlmath]\land[/inlmath] tu tražimo presek. Presek za [inlmath]x>\ln 2[/inlmath] i za [inlmath]x>0[/inlmath] biće [inlmath]x>\ln 2[/inlmath], a presek za [inlmath]x<\ln 2[/inlmath] i za [inlmath]x<0[/inlmath] biće [inlmath]x<0[/inlmath].
[dispmath]\underline{x>\ln 2\quad\lor\quad x<0}[/dispmath]
Dakle, funkcija je
definisana ako je [inlmath]x<0[/inlmath] ili ako je [inlmath]x>\ln 2[/inlmath]. To možemo zapisati na dva načina (potpuno je svejedno koji ćemo način zapisivanja koristiti):
1. način zapisivanja:
[inlmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath]
Ovde koristimo male zagrade, jer su u pitanju otvoreni intervali. To znači da oblast definisanosti
ne obuhvata granične tačke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\ln 2[/inlmath] (u tim tačkama funkcija nije definisana), već obuhvata samo ono što je između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] (ali bez [inlmath]0[/inlmath]) i ono što je između [inlmath]\ln 2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath] (ali bez [inlmath]\ln 2[/inlmath]).
2. način zapisivanja:
[inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left[0,\ln 2\right][/inlmath]
Za razliku od 1. načina zapisivanja, u kojem smo nabrajali intervale u kojima je funkcija definisana, kod ovog načina prvo napišemo da je funkcija definisana u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], pa onda
osim u... (pa zatim nabrajamo intervale ili tačke u kojima funkcija
nije definisana).
Drugim rečima, od skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]
oduzimamo one intervale u kojima funkcija nije definisana i onda ono što preostane predstavlja oblast definisanosti.
Tebe je bunilo zašto su ovde korišćene uglaste zagrade. Pa eto, upravo zbog toga, što je od skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] potrebno oduzeti ne samo otvoreni interval [inlmath]\left(0,\ln 2\right)[/inlmath], već je potrebno oduzeti i granične tačke 0 i \ln 2 (budući da ni u njima funkcija nije definisana), tj. potrebno je oduzeti ceo zatvoreni interval [inlmath]\left[0,\ln 2\right][/inlmath].
Kad su u pitanju ova dva načina zapisivanja, možemo reći i ovako. Ako bismo posmatrali sledeću uniju:
[inlmath]\left(-\infty,0\right)\cup\left[0,\ln 2\right]\cup\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath]
ta unija bi predstavljala ništa drugo nego ceo skup realnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].
Interval u sredini je zatvoren, ostala dva su otvorena. Taj interval u sredini obuhvata i granične tačke, koje ne obuhvataju preostala dva intervala. A unija sva tri intervala daje skup svih realnih brojeva, tj. [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath].
Zbog toga, kad od te unije, tj. od [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], oduzmemo
zatvoreni interval [inlmath]\left[0,\ln 2\right][/inlmath] (a to je ono što smo uradili u 2. načinu zapisivanja), ostaju nam dva
otvorena intervala, [inlmath]\left(-\infty,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath].
Sad malo jasnije?
od Daniel » Petak, 14. Decembar 2012, 22:13 
