Gamma je napisao:Sada mi je jasno.Čak sam primjetio da ima neke sličnosti sa onom gore formulom.I pitao sam te ovo za logaritam kod limesa. Mislim uopšteno.

Da, limes može ući pod logaritam, isto kao što može da ode i u eksponent.

Gamma je napisao:Po nekoj mojoj logici to bi trebalo biti ovako.
[dispmath]-\lim_{x\to 0}\ln\left(\left(1+e^x-1\right)^\frac{1}{e^x-1}\right)=-\ln\left(\lim_{x\to 0}\left(1+e^x-1\right)^\frac{1}{e^x-1}\right)=-\ln (e)=-1[/dispmath]

Upravo tako.

Gamma je napisao:Ja ne znam šta će u zadatku 2 puta limes mislim ovako je to izgledalo
[dispmath]-\lim_{x\to 0}\ln\left(\left(1+e^x-1\right)^\frac{1}{e^x-1}\right)=-\lim_{x\to 0}\ln\left(\lim_{x\to 0}\left(1+e^x-1\right)^\frac{1}{e^x-1}\right)=-\lim_{x\to 0}\ln (e)=-\lim_{x\to 0}1=-1[/dispmath]
Po mome ovaj drugi limes na kraju je stvarno suvišan.Rezultat je isti i bez njega Sigurno postoje neka posebna pravila kod limesa sa logaritmima ima li ih ovde na forumu?Ja ih nisam mogao naci!

Jeste, ovde je ovaj limes što stoji izvan logaritma, počev od drugog koraka sasvim suvišan. Ako je limes već ubačen unutar logaritma, onda je potpuno besmisleno i dalje pisati limes izvan logaritma.

Moglo bi se reći jasan mi je taj zadatak tek sada. Nisam bio siguran da limes može u eksponent i logaritam se prebaciti,ali sam to predpostavio...

Evo imam još jedno pitanje. Rječ je o zadatku sa 7-me stranice. Koji nije urađen. Ja sam ga pokušavao uraditi ali ne dobijem baš tačna rješenja.Jedno mi je tačno drugo nije.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}(1-x)-\sqrt{\frac{x^3}{(x+3)}}=[/dispmath]
E sada preko pravila koje si već objasnio preko razlike kvadrata ovo se svodi na razlomak.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{(1-x)^2-\left|\frac{x^3}{x+3}\right|}{1-x+\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{(1-x)^2-\frac{\left|x^3\right|}{|x+3|}}{1-x+\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath]
Ovde apsolutnu vrijednost imamo u brojniku i nazivniku tako nebitno gdje [inlmath]x[/inlmath] teži uvijek će ovaj razlomak biti pozitivan jer imamo djeljenje.Ovaj limes se može malo srediti.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+(x+3)\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath]
Sada dolazimo do ubianja muhe jednim udarcem. [inlmath](x+3)[/inlmath] treba da ubacimo pod korijen i to zavisi gdje [inlmath]x[/inlmath] teži. To radimo preko funkcije signum i apsolutne vrijednosti.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\mathrm{sgn}|x+3|\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\mathrm{sgn}\sqrt{x^4+3x^3}}=[/dispmath]
Do ovoga trebalo bi da je dobro. Sada nastaje problem.
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\sqrt{x^4+3x^3}}\cdot\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{-1+\sqrt{1}}=\frac{1}{0}=+\infty[/dispmath]
Ovo gore treba da bude [inlmath]-\infty[/inlmath] sve sam pregledao par puta i stvarno ne mogu da nađem grešku.A ovo kada [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]-\infty[/inlmath] je dobro
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)-\sqrt{x^4+3x^3}}\cdot\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{-1-\sqrt{1}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Ako neko može da pregleda i kaže da li je uopšte dobar ovaj način na koji ovo radim. I gdje je problem u rješenju. Znam da mora da bude [inlmath]-\infty[/inlmath] jer to se vidi iz grafika ove funkcije...

Gamma je napisao:[dispmath]\lim_{x\to\infty}(1-x)-\sqrt{\frac{x^3}{(x+3)}}=[/dispmath]
E sada preko pravila koje si već objasnio preko razlike kvadrata ovo se svodi na razlomak.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{(1-x)^2-\left|\frac{x^3}{x+3}\right|}{1-x+\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath]

Apsolutna vrednost ti je ovde suvišna. Korenovanjem kvadrata nekog broja dobija se apsolutna vrednost tog broja, [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath], ali kvadriranjem korena nekog broja (kao što je ovde slučaj) ne treba pisati apsolutnu vrednost tog broja. Ako se taj broj nalazio pod korenom, onda već postoji pretpostavka da je taj broj nenegativan, kako bi izraz bio definisan u realnom domenu.
Osim toga, izraz koji si ovde (greškom) stavio pod apsolutnu vrenost, ionako je pozitivan bez obzira na to da li [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] ili [inlmath]x\to -\infty[/inlmath], jer su mu u oba slučaja i brojilac i imenilac istog znaka (oba pozitivna za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath], odnosno oba negativna za [inlmath]x\to -\infty[/inlmath]).

Gamma je napisao:[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+(x+3)\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath]
Sada dolazimo do ubianja muhe jednim udarcem. [inlmath](x+3)[/inlmath] treba da ubacimo pod korijen i to zavisi gdje [inlmath]x[/inlmath] teži. To radimo preko funkcije signum i apsolutne vrijednosti.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\mathrm{sgn}|x+3|\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath]

Ovde imaš grešku, što si [inlmath]\left(x+3\right)[/inlmath] napisao kao [inlmath]\mathrm{sgn}\left|x+3\right|[/inlmath]. Signum funkcija može po definiciji dati samo vrednosti [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath] (za negativan broj, nulu ili pozitivan broj, respektivno), tako da ne možeš neki izraz koji može imati bilo koju realnu vrednost (ili koji, kao u ovom slučaju, teži beskonačnosti), zameniti signum funkcijom. Za bilo koji realan broj [inlmath]a[/inlmath] važi [inlmath]a=\mathrm{sgn}\:a\cdot\left|a\right|[/inlmath], prema tome, trebalo je da [inlmath]\left(x+3\right)[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\mathrm{sgn}\left(x+3\right)\cdot\left|x+3\right|[/inlmath].

Pa, onda, sledeći korak:

Gamma je napisao:[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\mathrm{sgn}|x+3|\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\mathrm{sgn}\sqrt{x^4+3x^3}}=[/dispmath]

Ovde si [inlmath]\left|x+3\right|[/inlmath] ubacio pod koren kao da to nije argument signum funkcije (ili, možda, i nije, ali šta je onda njen argument ako to nije?) Ovako signum funkcija ostade bez svog argumenta, osim ako u ovom izrazu koren ne predstavlja njen argument, ali tu tek ne vidim nikakvog smisla.

Dakle, svuda gde ti stoji [inlmath]\mathrm{sgn}[/inlmath], treba, zapravo, da stoji [inlmath]\mathrm{sgn}\left(x+3\right)[/inlmath]. Onda bi sve ovo bilo OK.

Gamma je napisao:[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-5x+3}{\left(-x^2-2x+3\right)+\sqrt{x^4+3x^3}}\cdot\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{-1+\sqrt{1}}=\frac{1}{0}=+\infty[/dispmath]
Ovo gore treba da bude [inlmath]-\infty[/inlmath] sve sam pregledao par puta i stvarno ne mogu da nađem grešku.

Greška ti je upravo tu što si napisao da je [inlmath]\frac{1}{0}=+\infty[/inlmath]. Kada imamo izraz [inlmath]\frac{1}{0}[/inlmath], on nije ni [inlmath]-\infty[/inlmath] ni [inlmath]+\infty[/inlmath], on je nedefinisan. Ako je u imeniocu neka negativna vrednost vrlo bliska nuli (to se obeležava sa [inlmath]0^-[/inlmath]), tada će vrednost tog razlomka biti [inlmath]-\infty[/inlmath]. I obratno, ako je u imeniocu neka pozitivna vrednost vrlo bliska nuli (to se obeležava sa [inlmath]0^+[/inlmath]), tada će vrednost tog razlomka biti [inlmath]+\infty[/inlmath]. E, u ovom slučaju u imeniocu nemaš nulu, već imaš neku negativnu vrednost vrlo blisku nuli.
Možeš se uveriti da [inlmath]\left(-x^2-2x+3\right)+\sqrt{x^4+3x^3}[/inlmath] ima negativnu vrednost (za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath]) tako što uporediš apsolutne vrednosti oba sabirka – videćeš da je za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] sabirak [inlmath]\left(-x^2-2x+3\right)[/inlmath] veći po apsolutnoj vrednosti od sabirka [inlmath]\sqrt{x^4+3x^3}[/inlmath], a pošto sabirak [inlmath]\left(-x^2-2x+3\right)[/inlmath] ide u negativnu beskonačnost za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath], to će on „odneti prevagu“ nad sabirkom [inlmath]\sqrt{x^4+3x^3}[/inlmath] koji ide u pozitivnu beskonačnost, pa će njihov zbir biti negativan, iz čega zaključujemo da je imenilac posmatranog razlomka negativan, a pošto mu je brojilac pozitivan, to vrednost celog razlomka mora biti negativna, prema tome, ne može nikako težiti u pozitivnu, već isključivo u negativnu beskonačnost.

Evo sada sam ovo detaljno pregledao i nisam znao to za apsolutnu vrijednost.Tj. da se dobije kada se vadi korijen iz nekoga kvadrata a ne obrnuto.Što se tiče signuma upravo sam mislio tako [inlmath]\mathrm{sgn}(x+3)|x+3|[/inlmath] ne znam kako sam zaboravio taj [inlmath](x+3)[/inlmath]. Mogu ti reći sada mi je jasno ovo.

Gamma je napisao:Evo sada sam ovo detaljno pregledao i nisam znao to za apsolutnu vrijednost.Tj. da se dobije kada se vadi korijen iz nekoga kvadrata a ne obrnuto.

Možeš pogledati i ovu temu.

Pozdrav,

rješenje ovog limesa je [inlmath]1[/inlmath], ali ja uvijek dobijem ili nula ili beskonačno... Pokušavala sam izvući [inlmath]x[/inlmath] ispred zagrade, pa preko Lopitala, ali nikako doći do rješenja. Čak štaviše, sa Lopitalom dobijem takav razlomak da bi mi trebalo dugo da izračunam sve te izvode. Kako se ovo rješava?
[dispmath]\lim_{x\rightarrow\infty }\left(x\cdot e^{\frac{1}{x-2}}-x\right)[/dispmath]
Hvala unaprijed!

Uvedeš smenu [inlmath]\frac{1}{x-2}=t[/inlmath], nakon čega se limes svodi na [inlmath]\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}[/inlmath], što je limes s kojim se relativno često susrećemo i za koji se može pokazati da je jednak [inlmath]1[/inlmath]. Znaš li kako se rešava taj limes?

Daniele ja sam pokušavo riješiti ovaj limes ali nije mi se dalo. Mada i mene interesuje kako se rješava limes ovakvoga tipa.

Evo, ovako:
[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{\ln e^t}=\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{\ln\left[1+\left(e^t-1\right)\right]}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{1}{e^t-1}\ln\left[1+\left(e^t-1\right)\right]}=\\
=\lim_{t\to0}\frac{1}{\ln\left[1+\left(e^t-1\right)\right]^{\frac{1}{e^t-1}}}=\frac{1}{\ln\lim\limits_{t\to0}\left[1+\left(e^t-1\right)\right]^\frac{1}{e^t-1}}=[/dispmath] Smena [inlmath]e^t-1=u[/inlmath]:
[inlmath]t\to0\;\Longrightarrow\;u\to0[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{\ln\lim\limits_{u\to0}\left(1+u\right)^\frac{1}{u}}=\frac{1}{\ln e}=\frac{1}{1}=1[/dispmath]